推 curiosity2 : 精闢的分析！ 01/30 09:03
※ 引述《curiosity2 (dog)》之銘言：
: 1 = √(1) = √( (-1)*(-1) ) = √(-1) * √ (-1) = i * i = -1
: 上面是哪個步驟出錯？
這個需要從根號的定義談起
如果需要取複數的根號 是先寫成極座標
if z = r*exp(θ) then √z = √r * exp(θ/2)
但因為 exp(θ) = exp (θ+ 2*pi)
為避免根號出現很多不同的值,
根號只定義在複數平面挖掉半條座標軸,
i.e. -pi < θ < pi 就是去掉負 x 軸加上原點
複變裡教授強調過超多次！！ 大家要記得！！
你也可以挖掉其他 half-ray, 像是這裡既然需要 √(-1)
就可以挖掉負 y 軸, 讓根號定義在 -pi/2 < θ < 3*pi/2
所以我們看一下你這邊的角度是多少
1 = √(1) = √( (-1)*(-1) ) = √(-1) * √ (-1) = i * i = -1
0度 0 度 0 度 pi/2 + pi/2 pi/2 + pi/2 pi
恭喜你看到了一個在複數裡 √(ab) 不等於 √a * √b 的實例。
原因就是因為 -1* -1 = 1 的時候角度繞過了去掉的負 y 軸
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 108.201.187.155 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1643424890.A.CE2.html
※ 編輯: HmmHmm (108.201.187.155 美國), 01/29/2022 10:55:41