Re: [其他] 請問兩個根號相加後的2020次方的個位

[LPH66 ( )]

※ 引述《deardidi (跑吧)》之銘言：
: https://i.imgur.com/h5H2cnU.jpg
: 想用二項式定理但仍然不得其門而入
: 請問有何解法，謝謝^^

: 推 Starvilo    : 補個減試試                                        02/17 10:40
: → deardidi    : 請問怎麼補個減呢？謝謝^^                          02/17 11:00
: → chang1248w  : 你會發現(sqrt3-sqrt2)^2020幾乎是零                02/17 11:44
: → chang1248w  : (sqrt3+sqrt2)^2020+(sqrt3-sqrt2)^2020是一坨整數   02/17 11:45
直接補減有點麻煩, 因為這題是兩個根號

不過可以做點變換: 由 (√3 + √2)^2 = 5 + 2√6

因此原數 = (5 + 2√6)^1010 這就可以補減了

令 x = 5 + 2√6, y = 5 - 2√6, 注意 0 < y < 1; 這個 y 就是所謂「補減」

再令數列 a_n = x^n + y^n, 因為 0 < y < 1 所以 0 < y^n < 1

因此所求 x^n 的個位數即是 a_n 的個位數減 1

而我們有 a_{n+1} = x^(n+1) + y^(n+1)
       = x^(n+1) + x^n y + x y^n + y^(n+1) - x^n y - x y^n
       = (x+y)(x^n + y^n) - xy (x^(n-1) + y^(n-1))
       = (x+y) a_n - xy a_{n-1}

容易計算 x+y = 10, xy = 1, 所以有關係式 a_{n+1} = 10 a_n - a_{n-1}

數列的開頭項是 a_0 = 2, a_1 = x+y = 10

由此即可由關係式逐漸往上算求出後面的項

(這其實就是這個補減項技巧的核心: 對於 N 次方和都能有這樣的遞迴關係式

 然後這數列的開頭幾項又是整數容易計算, 補的減項又夠小所以對整數幾乎沒影響

 上面說 √3+√2 直接補減有點麻煩就是在這裡, 開頭項和關係式都還會帶 √3

 要消到沒有根號要把四個共軛根號都拉出來, 但關係式就會變成從前四項算下一項

 那不如先平方一次消掉一個根號)

那我們要求的又是個位所以只算個位就好

算上去就會看到數列 a 的個位是以 2 0 8 0 這樣在循環的

因此所求的 a_1010 和 a_2 個位相同為 8, 所以所求為 7

--
LPH  [acronym]
= Let Program Heal us
                        -- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.159.72.196 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1645069950.A.33A.html
※ 編輯: LPH66 (49.159.72.196 臺灣), 02/17/2022 11:53:21
※ 編輯: LPH66 (49.159.72.196 臺灣), 02/17/2022 11:54:41
推 jchin       : 因為y^n非常小, 有可能x^n個位數=a^n個位數?
→ LPH66       : 這就是為什麼除了強調 y<1 外, y>0 也很重要
→ LPH66       : a_n 這個整數是所求 x^n 加上一個很小的正數 y^n
→ LPH66       : 正數這一點保證 a_n - y^n 的個位一定會少 1
→ LPH66       : (像是 42 - 0.0000001 = 41.9999999 這樣的感覺)
推 deardidi    : 好厲害 想到這種方法 謝謝你的教學^^