[微積] 積分問題

[OSGrup (open將真的很可愛)]

題目:設f(x)是[a,b]的非負可積分函數，

     b
若有∫f(x)dx=0，試證明對任給ε>0，存在子區間[α,β]包含在[a,b]，
     a

使得f(x)<ε，α≦x≦β


proof: 假設 存在ε>0，且存在子區間[α,β]包含在[a,b]使得f(x)>ε，α≦x≦β


∵f(x)>ε，α≦x≦β

  β       β
∴∫f(x)dx>∫εdx=ε(β-α)
  α       α

∵f(x)≧0，對所有x屬於[a,b]

    b          α        β          b
∴ ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx ≧ε(β-α)>0 (矛盾)
    a          a         α         β


證明完畢。


我沒有很肯定我的寫法有沒有錯誤，請大家指教，謝謝



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推 zhanguihan  : your proof is wrong due to the wrong contradicti
→ zhanguihan  : ve statement of conclusion in your asumption.
推 zhanguihan  : and there is an counterexample as follows: let f
→ zhanguihan  :  be defined on the unit closed interval and be o
→ zhanguihan  : ne at the rational number and zero others.
推 kilva       : 樓上的例子是勒貝格可積，但黎曼不可積
推 arrenwu     : 我想一樓的意思是他反證法用的假設有問題吧
推 arrenwu     : 她這個函數的可積分是定義在什麼積分上啊？
→ arrenwu     : Lebesgue ? Riemann ?
→ OSGrup      : 這邊內容是黎曼可積分，謝謝各位