※ 引述《OSGrup (open將真的很可愛)》之銘言：
: 題目:設f(x)是[a,b]的非負可積分函數，
^^^^^^
我想這裡指的是 Riemann 可積函數。
若僅為 Lebesgue 可積，則原推文中 zhanguihan 網友給了反例。
: b
: 若有∫f(x)dx=0，試證明對任給ε>0，存在子區間[α,β]包含在[a,b]，
: a
: 使得f(x)<ε，α≦x≦β
: proof: 假設 存在ε>0，且存在子區間[α,β]包含在[a,b]使得f(x)>ε，α≦x≦β
這裡的反證法假設有誤。
若原命題不成立，則對所有的子區間 [α,β] of [a,b]，
皆存在一點 x_0 in [α,β] 滿足 f(x_0)≧ε。
以下不閱。
順著這個反敘述，則可證：對任意的有限分割 P for [a,b],
上和 U(f,P) 至少是 ε(b-a)， <--- 當作練習。
故上積分至少是 ε(b-a)。
矛盾。
: ∵f(x)>ε，α≦x≦β
: β β
: ∴∫f(x)dx>∫εdx=ε(β-α)
: α α
: ∵f(x)≧0，對所有x屬於[a,b]
: b α β b
: ∴ ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx ≧ε(β-α)>0 (矛盾)
: a a α β
: 證明完畢。
: 我沒有很肯定我的寫法有沒有錯誤，請大家指教，謝謝
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必先靜修 而後致理
學富十車悟文德 抗懷萬古蘊聖心
則衛理 則達人
血融精誠見金甌 生仗曠遠圖育達
千秋銘傳 萬世崇光
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