[其他] floor函數的證明技巧

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下諸如下面舉例有關階梯函數(高斯函數)的問題有沒有什麼處理技巧:
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令 f(x)為floor function
則 f( (f(4x)/2) + k/2 ) = f( 2x + k/2 ), for any x€R, k€Z
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目前我是用二進位展開定理去逐一驗證等式, 但是這個展開會需要分case:

(1) x>=0
(2) x<0

而在case(1)中又繼續分是唯一展開式還是有兩種展開式(例如1 = 0.11111111...)
而在case(2)中還要更加處理well-defined的問題, 因為signed extension會讓展開式
             有無窮多個可能, 不過只要證明"存在"展開式就可以解決原題了
             原題不需要展開式的唯一/二性


以上這些是我證明原題的方式, 但是覺得要嚴格寫好麻煩...

才想說有沒有一些分析上不等式的運作就能證明原題?

也就是說利用f(x)的特性: f(x)是唯一的整數滿足 f(x) <= x < f(x) + 1


最後我會說原題只是一種"舉例"是因為我在工作上遇到蠻多這種數學形式

而到底會不會造成"誤差", 以有理數(就不會有無窮多個小數)來說多半可以

腦袋模擬一下二進制表示法就可以得到答案

但是對於所有實數而言會不會對, 我寫不出分析式的不等式推導...

就是光想像是對的, 但是要證明就只能依賴二進制展開定理去分case討論, 好麻煩

才想問問有沒有好方法


謝謝幫忙~

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推 LimSinE     : Hint:等式兩邊 x->x+1時不變，只要考慮x in [0,1)
→ LimSinE     : k→k+2不變，只要考慮k=0 or 1
嗨L大, 這樣確實可以不用討論負實數了!
只是後續依然是用正數的二進制展開來證明嗎?
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<update>

確實只要用不等式就可以解決了, 原題可以化簡成下列型式:

f(f(x)/n) = f(x/n) for any n€N and x€R

pf: (MI) 把x寫成n進制
    (MII) 由f(x/n) <= x/n < f(x/n) + 1去做操作立得結果
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 02/27/2022 16:07:06
推 XII         : 也可以用反證法