Re: 幾題級數求和

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《ypeng0308 (aguang)》之銘言：
: : 想請問3.8.11
: : https://imgur.com/BgYWYKZ
: : https://imgur.com/1NYCCnY
: : 第8題 我把原來的函數換成cos的樣子然後相乘
: : 最後整理成 sigma(1->Infinity) (1/(2n-1)^2)*exp(i*theta)^n
: : 然後就不知道怎麼做了
: : 3和11則是一開始就沒想法了

: 但我總覺得複變函數論那邊應該有什麼有用的結論可以簡化這個過程。
: 這過程會那麼麻煩是因為我把 cos 和 sin 分開處理

: 如果換個方向，我定義一個函數
:          n
: Ln(x) = Σ  e^(jkx)/(2k-1)
:         k=1
: 那題目問的其實就是 lim Im( Ln(x) )
: 而 Ln 我們可以很容易地寫出
:                      n
: -2j Ln'(x) - Ln(x) = Σ  e^(jkx)
:                     k =1
:                    = e^(jx)(1-e^(jnx))/(1-e^(jx))
: 這樣就變成一個一階線性微分方程

解這個方程不簡單啊。
雖然在誤會「n→∞ 導致 e^(jnx)→0」之後，會變得美麗。


總之以下先換回原文的記號。

f(θ) = sinθ + (sin2θ)/3 + (sin3θ)/5 + ... 收斂，根據 Dirichlet's test。

因為 Σsin(kθ) 的部份和有界而且 1,1/3,1/5,... 遞減到 0。

然後湊實部給他。

定義 g(θ) = cosθ+(cos2θ)/3+(cos3θ)/5+... + i*f(θ)

           = exp(iθ) + exp(2iθ)/3 + exp(3iθ)/5 + ...

這時候令 z = exp(iθ/2) 會很方便，

所以 g(θ) = z^2 + z^4/3 + z^6/5 + ...

           = z * ( z + z^3/3 + z^5/5 + ... )

           = z * ln((1+z)/(1-z)) / 2

但是最後那個等號有點問題。

事實上，z + z^3/3 + z^5/5 + ... 並沒有處處收斂。

我們也可以知道他在單位圓上幾乎處處收斂，除了在 z = ±1 是發散的。

要驗證也一樣可以用 Dirichlet's test。

題目的 θ 只有 0 ~ π，所以 z = 1 不在範圍內，可以安心使用。

所以我們要算的 f(θ) 就是 Im[g(θ)]，完結……不了。


即使知道 z + z^3/3 + z^5/5 + ... 收斂，

但我們仍然沒有說明他與 ln((1+z)/(1-z)) / 2 相等。

這裡用到的就是 Abel's Theorem。

r 是個比 1 小的正數，考慮 rz + (rz)^3/3 + (rz)^5/5 + ... 這個級數。

rz + (rz)^3/3 + (rz)^5/5 + ... = ln((1+rz)/(1-rz)) / 2

這個和應該是很普通的(複變數)微積分習題，

流程跟實變數微積分習題一樣，對 rz 微分，計算等比級數，再積分。

最後靠 Abel's Theorem 把 r→1^-：

級數確定收斂，所以 ln((1+rz)/(1-rz)) / 2 的極限就是那個級數，

也就是說 z + z^3/3 + z^5/5 + ... = ln((1+z)/(1-z)) / 2。


而「補 r」也可以看成是把 θ 變形成 θ+2iε。

此時 z 變形成 exp(iθ/2-ε) = e^-ε * exp(iθ/2)，

前面那個 e^-ε 跟 r 的用途相同。


接下來的工作就剩下複數計算了。

f(θ) = Im[ z*ln((1+z)/(1-z)) ]/2

      = Im[exp(iθ/2)*ln((1+cos(θ/2)+isin(θ/2))/(1-cos(θ/2)-isin(θ/2)))]/2

      = Im[(cos(θ/2)+i*sin(θ/2))*ln(i*cot(θ/4))]/2

      = Im[ (cos(θ/2)+i*sin(θ/2)) * (ln(cot(θ/4))+iπ/2) ]/2

      = π/4 * cos(θ/2) + 1/2 * sin(θ/2) * ln(cot(θ/4))

把 ln(i*cot(θ/4)) 的虛部定出來是這段計算的核心，而這與前面提到的積分有關。

i*cot(θ/4) 甚至可以用畫圖的方式看出來，

所以即使忘掉了三角函數琳瑯滿目的各種公式也沒關係。


這題雖然用到的東西很多，但都是很標準的流程，所以課本上都多少有點到。

湊實部可以參考 2-25。

2-26 則是偷偷在用 Abel's Theorem。

至於收歛性，這本的調性就是 leave it to mathematicians，

也是因為這樣，所以他的 reference 都是在說「某本書這個寫得很好」。

作者就是要讀者自己再去找書看。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1646765878.A.A54.html
→ cmrafsts    : 你那邊不需要abel theorem。用Abel summation
→ cmrafsts    : formula可以直接把它變成一個在D\{1} locally
→ cmrafsts    : uniformly convergent 的級數。
你是在說那個長得像 IBP 的 ASF？
IBP 只有積分、ASF 混積分和分、Abel 還有一個純和分的 SBP。
應該不是這個吧……
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 03/09/2022 03:52:15
推 AnnaOuO     : 湊實部不難想 令z=exp(iθ/2)覺得才是關鍵
其實也只是為了匹配指數與分母，所以要把指數的公差調成 2。
然後湊實部的確不難想，不管是數學還是物理的角度，
在很多實數問題上引入虛數，都是為了使用那個簡單的乘除計算。
其中一個很具體的例子是交流電路，
電容電感都變成了虛數阻抗的「電阻」，電流電壓也多出了虛部。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 03/09/2022 15:42:47
→ AnnaOuO     : 指數公差調成2雖然說起來簡單 但沒想到這樣做就無法
→ AnnaOuO     : 把求和跟積分對調得到漂亮結果
這個問題是出在我們心中的級數庫不夠大。
夠大的話，積分都可以略過了。
→ AnnaOuO     : 推思路 昨天看就是沒想到可以這樣做
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 03/09/2022 17:57:09
推 arrenwu     : 感謝分享 雖然我其實複變還真的是不太通XD