Re: [中學] 夾擠定理和二項式定理的餘數問題

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《tankking2002 (特務)》之銘言：
: 1.https://i.imgur.com/FsWqK5m.gif
: 猜測是用夾擠定理，但是如果全部都用第一項之和，還有最後一項之和，極限值會不同。

答案是 3(√5 -1)/4。

a_n 是 ∫_0^1 3xdx/√(1+4x^2) 的黎曼和，所以極限就是這個積分。


如果要夾擠的話，可以用這個夾：

    (k+1)^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2 > k^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2

開根號得 (k+1)√(1+4k^2/n^2) > k√(1+4(k+1)^2/n^2)

同加一項 (k+1)√(1+4(k+1)^2/n^2) 後得

    (k+1)√(1+4k^2/n^2)+(k+1)√(1+4(k+1)^2/n^2) > (2k+1)√(1+4(k+1)^2/n^2)

把根號移項到分母後，順便把右式有理化得

    (k+1)/√(1+4(k+1)^2/n^2) > (2k+1)/(√(1+4(k+1)^2/n^2) + √(1+4k^2/n^2))

                             = n^2*(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4

同乘 3/n^2 得

    3(k+1)/√(n^4+4(k+1)^2*n^2) > 3(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4

把 k 從 0 到 n-1 的上式全部加起來得

    a_n > 3(√5 -1)/4

另一半可以用 (k+1)^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2 > k^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2

=> (k+1)√(1+4k^2/n^2) > k√(1+4(k+1)^2/n^2)

=> (2k+1)√(1+4k^2/n^2) > k(√(1+4(k-1)^2/n^2) + √(1+4k^2/n^2))

=> k/√(1+4k^2/n^2) < (2k+1)/(√(1+4(k+1)^2/n^2) + √(1+4k^2/n^2))

                    = n^2*(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4

=> 3k/√(n^4+4k^2*n^2) < 3(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4

把 k 從 1 到 n 的式全部加起來得

    a_n < 3(√(1+4(n+1)^2/n^2) - √(1+4/n^2))/4

然後就可以夾出來了。


至於這個夾法怎麼看出來的？

積分來的啊XD

: 2.https://i.imgur.com/NK2onel.gif
: 2^2023-2的末三位數字是多少？
: 有嘗試用2^10=1024去想，但是24的次方不好處理。
: 有參考板上的一篇文章2011=2000+10+1的二項式定理展開
: 但是1024=1000+20+4的20和4還是沒辦法處理
: 希望大家能給點靈感或方向，能有解法更好，謝謝大家

答案是 606。

先 mod 8，2^2023≡0

再 mod 125，2^2023≡2*(5-1)^1011≡2*(-1+1011*5-(1011*1010/2)*25)

                  ≡2*54≡108

因為 8*47+125*(-3)=1 （可以從輾轉相除法直接得到）

所以 2^2023≡8*47*108≡40608≡608 (mod 1000)

然後 2^2023-2≡608-2≡606 (mod 1000)


其實 mod 1000 的循環節長度是 100，所以也可以直接看 2^23。

證明：2^100≡1024^10≡(20+4)^10

           ≡45*400*4^8+10*20*4^9+4^10

           ≡10*20*262144+24^2≡800+576≡376

      所以 2^103≡376*8≡3008≡8≡2^3

那麼 2^2023≡2^23≡24*24*8≡576*8≡76*8≡608


我沒證過的猜想：

除數每多一個 0，循環節長度好像就是變成五倍。

至少隨便看了一下 mod 10000 是對的，循環節長度的確是 500。


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推 Starvilo    : 看5^4即可，（1+5*3)^125=2^500=1+5^4a. 所以500循
→ Starvilo    : 環？
推 FAlin       : 直接費馬尤拉不就好了？ 2^100=1（mod125)
→ FAlin       : 故1000以上的話多一個0循環節當然變成5倍（2必整除
啊……對呴。數論跟代數都忘得差不多了。
所以從五的冪次的末兩位開始，循環節長度的公比是 2 也一樣可以解釋。
那這樣這題簡單很多了啊。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 04/08/2022 17:05:11