[心得] 巴斯卡三角形以及立方數之關係

[Alexander1 (理性討論)]

如題，最近無聊翻我以前的筆記本時突然發現，我以前(國、中小時還有一個夢想--解出費馬的最後定理。

這個定理是如此的鼎鼎大名以及其敘述十分直白簡單以至於我在國小時就可以理解了，因此我考完月考的時候都會在背面的空白處計算這個定理--當然當時只是停留在代值法。

到了國中，已經有了一般的證明的概念了，因此我不再是利用代值法，而是透過找到立方數將其透過低次方的數學式來表達，且在將複雜度降低之後就有機會找到解了。

當然，我現在會在這裡發文就表示我沒有解出費馬的最後定理(笑

只是發現了一個全新(? 的"立方數"與"巴斯卡三角形"關係，因此就上來和大家分享一下。

其實想法說難也不難，就只是先將全部的立方數列出來:

1 8 27  64 125 216 343 512然後運用類似巴貝奇定理的方式求兩兩之差(在做這一步的時候我也沒有想那麼多，就只是單純的直覺而已。

兩兩之差:7 19 37 61 91 127 169 似乎還沒有規律?

再往下做:12 18 24 30 36 42 應該很明顯了吧?

最後一層: 6 6 6 6 6 6

到這一步，如果我當時已經是高中了，我可能就不會往下做了，因為巴貝奇定理告訴我們，做到全部都是一樣的值時，有幾層其就是幾次的多項式，而剛剛的那個有三層，這就表示了，我所想的"將立方數降冪"的想法是行不通的。

但是，我當時只是一個國中生，因此我就抱著"靠這也太神奇了吧!?"的想法繼續尋找他們之間的規律。

以下解釋可能需要版友拿一張紙在旁邊，我已經盡量想要表達清楚了@@
首先，先將上面那個兩兩之差的倒三角形畫出來，接著繼續閱讀:

1=1

8=1+7

27=1+7+19=1+7+"7+12"----將19拆分 = 1*1+2*7+12*1--合併同項

64=1+7+7+12+37=1+7+7+12+"7+12+18"---將37拆分  =1+7+7+12+7+12+"12+6"---再將18拆分= 1*1+3*7+3*12+1*6----合併同項之後的結果。此時，應該已經看得出關係了吧?以防萬一，我們再多做一組。(1、3、3、1為巴斯卡三角形第四層

125=64+61=64+7+12+18+24=  64+1*7+3*12+3*6=1*1+4*7+6*12+4*6---1、4、6、4為巴斯卡三角形第五層

結論:將巴斯卡三角形的前四個數字分別乘上1、7、12、6就會得到一個立方數，當你在巴斯卡三角形的第n層做，就會得到n的立方

或者是一個較為漂亮的式子:https://i.imgur.com/Z1kD0Tu.jpg

得到這個結論之後，我也沒有太多的開心或啥的，直到有一天我突然心血來潮，查了一下這兩者之間的關係---竟然找不到!!!這豈不是說明我是第一個找到的嗎?這種高興真的不是一般的遊戲可以帶來的，我甚至現在還能回想起那份激動(當然也有可能只是我沒有找到相關的訊息XD



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※ 編輯: Alexander1 (42.74.80.145 臺灣), 04/01/2022 20:09:15
→ cmrafsts    : 你把組合數C^n_k看成n的多項式，然後把這些作為基底
→ cmrafsts    : 去重寫一個多項式，in your case is P(n)=n^3.
→ cmrafsts    : 如果你的多項式在整數上取值皆為整數，則用這組基底
→ cmrafsts    : 寫出的係數都是整數。
推 sunev       : 和Bernoulli numbers有點關係
→ sunev       : https://oeis.org/A028246
推 RicciCurvatu: 大部分這種多項式的差和關係都只是 Euler–Maclauri
→ RicciCurvatu: n formula 的特例而已 你這個也不例外 你用特例去找
→ RicciCurvatu: 當然找不到general 的結果
→ RicciCurvatu: 我高中也寫了一整本證明跟一些小定理 後來閱讀越多
→ RicciCurvatu: 才發現其實早就有人做過了 只是知識還不夠多不知道
→ RicciCurvatu: 關鍵字 不過這些自己發現的樂趣的確給了我繼續作學
→ RicciCurvatu: 術的熱誠
推 Vulpix      : 這個改寫對一般多項式和分很有用。