[分析] 幂級數在收斂半徑"上"絕對收斂

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下有沒有滿足(1)&(2)條件的a_n€C, set of complex numbers

(1) limsup_{n→∞} |a_n|^(1/n) > 0

    R:= 1 / limsup_{n→∞} |a_n|^(1/n)

(2) Σ_{n=0~∞}|a_n*(z_0)^n| conv. at some z_0 with |z_0| = R

或是滿足(1)&(3)的a_n€C

(3) Σ_{n=0~∞} a_n*z^n conv. at all z with |z| = R

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會問這個問題的想法如下:

我們都知道幂級數在R外發散, R內絕對收斂, R上不一定

而在實數時就有很多例子都發現 z = R 與 z = -R 不可能都收斂

所以我才想直接討論複數這個更general的case


回到原問題, 容易知道若(2)成立, 就會得到在R上全部都絕對收斂, 因此(3)就成立

因此, 如果存在(1)&(2)的例子, 那自然就是一種(1)&(3)的例子

只是我直覺覺得(1)&(3)還有機會

但是(1)&(2)感覺太強了...等於在整個|z|<=R這個closed disk都絕對收斂


再請提供例子 或是 不可能的敘述

比如: (a) Σ_{n=0~∞} a_n*z^n   在 {|z| = R} 上至少有一點不收斂
      (b) Σ_{n=0~∞} |a_n*z^n| 在 {|z| = R} 上至少有一點發散到無窮大
      ...

謝謝幫忙~

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推 cmrafsts    : R=1, a_{k^2}=2^{-k}, a_n=0 if n is not a square
→ znmkhxrw    : 謝謝 c大, 我睡覺時也突然發現例子一堆 a_n = 1/n^p
→ znmkhxrw    : , for any p>1 都是符合(1), (2)的例子
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/02/2022 01:36:51