[其他] 請問一題期望值

[jenshi (小旭)]

有3號到10號的卡片各一張，從中任取5張，則取到最小號碼的期望值為

解答這樣寫：

取出5張卡片，在6個間隔，放入3張，
平均每個間隔可以放3/6張，
故最小號碼的期望值1/2 +3。

看不懂說明，或是有其他比較容易理解的方法？

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推 weian       : 最小號碼是6的組合有1種 (6, 7, 8, 9, 10)
→ weian       : 最小號碼是5的組合有5種 (5一定要取，6~10 5C4)
→ weian       : 最小號碼是4的組合有15種 (4一定要，5~10 6C4)
→ weian       : 最小號碼是3的組合有35種
→ weian       : (6*1 + 5*5 + 4*15 + 3*35)/(1+5+15+35) = 7/2
→ weian       : 取五張卡片，要最小的號碼是6只能取到 6,7,8,9,10
→ weian       : 其他任何情形最小號碼都不會是6
→ weian       : 依次把最小號碼組合數乘上最小號碼加權平均=期望值
※ 編輯: jenshi (163.30.169.193 臺灣), 05/06/2022 12:25:52
→ jenshi      : 謝謝老師
推 LPH66       : 說明是這麼看: 照第一行做完後編號由左至右 3 到 10
→ LPH66       : 如果令最初取出的五張是紅色, 插入的三張是白色
→ LPH66       : 則紅色的號碼表示一種取法
→ LPH66       : 最小取出號碼即是最左的紅色號碼, 其左邊的白色張數
→ LPH66       : 由第二行計算 (一個間隔量的白色卡片期望值)
→ LPH66       : 因為每個間隔都是等同的 (想想第一行敘述)
→ LPH66       : 所以一個間隔平均有半張白色卡片
→ LPH66       : 所求最小的紅色號碼就是這張數加上 3 號
→ yhliu       : 解答的方法很妙,但其道理(適不適用)我不清楚, 我的
→ yhliu       : 做法會先計算各可能值的機率,然後計算期望值.
→ yhliu       : 最小號碼, 最大號碼及中間號碼的機率分布是可算的,
→ yhliu       : 而且可以用在更一般的設定. 不過期望值的計算在一般
→ yhliu       : 情形好不好算就不知道了.
推 LPH66       : 要嚴謹一點的做法的話兩年前我有在一個類似題裡回過
→ LPH66       : #1UQC7ZE1 ←這一篇
→ LPH66       : 關鍵的觀察 (每個間隔都是等同的) 用類似這題的設定
→ LPH66       : 可以比較容易觀察出來, 否則就要讓我那篇寫的一樣
→ LPH66       : 造一個對應出來來證明分布相同
→ jenshi      : 謝謝幾位老師的說明