[代數] 如何得到正確的解集

[Lanjaja ()]

各位先進好，我想請教一對聯立代數問題。

a, b, c, d四個實數滿足下方二道等式
ac = bd  (1)
ad = -bc (2)
求解a, b, c, d

答案應該是{a=b=0} 或 {c=d=0}，
但是我一直得不到想要的結果。

以下是我的過程：
設ac=bd != 0 => abcd != 0
=> c/d = -d/c => c=d=0矛盾
所以ac = bd = 0
不失一般性下設a=0
(1)：b=0或d=0
(2)：b=0或c=0
兩解集合取交集得{a=b=0} 或 {a=c=d=0}

問題卡在{a=c=d=0}要怎麼變成{c=d=0}？
一般不是都可以在不失一般性下設其中一個變數為0，
為何這時得不到最後的答案呢？
請各位先進幫忙告訴我錯在哪裡，要怎麼補救這個證明呢？
感謝回答～



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推 Vulpix      : 因為假設a=0就失去一般性了。
→ chang1248w  : 從線代和det下手吧？
推 LPH66       : 「不失一般性」是要其他狀態也能化歸你的假設
→ LPH66       : 但你這麼一來把 c=0 也變成 a=0 了, 自然找不到原本
→ LPH66       : 應該是 c=d=0 的解 (被「不失一般性」變成a=b=0了)
→ Lanjaja     : 謝謝以上三位的回答。想請問一下LPH大為何和c=0有關
→ Lanjaja     : 能不能再說明得清楚，謝謝
推 LPH66       : ac=0 要分狀況為 a=0 或 c=0, 如果你把它統合成 a=0
→ LPH66       : 就表示你此時把變數 a 和 c 的名字交換
→ LPH66       : 但這麼一來要滿足 (2) 式你還得把 b 和 d 也交換
→ LPH66       : 因此這表示你把 c=d=0 的解經由這個程序變成 a=b=0
→ LPH66       : Vulpix 說你「失去一般性」的意思就是, 進行上述的
→ LPH66       : 「a,c 交換且 b,d 交換」的操作後, 把一些原有的解
→ LPH66       : 變成別的樣子了以致於後來解完後無法還原
→ LPH66       : 例如上面那一篇「不失一般性假設a≧b≧c」
→ LPH66       : 討論完後如果要還原 (a,b,c) 的解必須加一句
→ LPH66       : 「某某解及其排列」, 這就是在還原這「不失一般性」
→ LPH66       : 的假設; 只是那題要求的是三數乘積所以可以不管而已
→ LPH66       : 但你這裡是要討論解, 那就要還原你在這假設時做的
→ LPH66       : 變動, 才能夠得回原題要的所有答案
→ Lanjaja     : 謝謝LPH大，如果我想還原「不失一般性下」的變動，
→ Lanjaja     : 就只能變成再討論a!=0的情況，這就又回到窮舉法了？
→ Lanjaja     : 只是因為這題a!=0就是c=0，最後解的聯集會有點麻煩
→ Lanjaja     : 不那麼直觀可以看出。還是我有誤會什麼？有更直接方
→ Lanjaja     : 便的還原方法嗎？
→ Vulpix      : 更方便的還原方式就是「對稱」，c=0寫一遍，b=0一遍
推 Vulpix      : ，d=0也一遍。這三遍其實跟a的情況寫起來沒兩樣，像
→ Vulpix      : c=0的那次其實是把(a,b)和(c,d)對調。
→ Vulpix      : 最後把這四個解集合聯集起來就好。
→ Vulpix      : 因為寫起來沒兩樣，所以可以用WLOG省略掉。
→ Vulpix      : 你想要WLOG，就要知道自己是怎麼才能沒有失去一般性
→ Vulpix      : 沒仔細看前面的推文，跟LPH大寫的意思一樣。
→ Lanjaja     : 謝謝V大，把各種情況用聯集連結，我就怕我化簡不到
→ Lanjaja     : 最後最乾淨的結果
推 Vulpix      : 不用擔心，這題的化簡是最簡單的真子集和重複集合。