Re: [代數] 如何得到正確的解集

[ERT312 (312)]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 各位先進好，我想請教一對聯立代數問題。
: a, b, c, d四個實數滿足下方二道等式
: ac = bd  (1)
: ad = -bc (2)
: 求解a, b, c, d
: 答案應該是{a=b=0} 或 {c=d=0}，
: 但是我一直得不到想要的結果。
: 以下是我的過程：
: 設ac=bd != 0 => abcd != 0
: => c/d = -d/c => c=d=0矛盾
: 所以ac = bd = 0
: 不失一般性下設a=0
: (1)：b=0或d=0
: (2)：b=0或c=0
: 兩解集合取交集得{a=b=0} 或 {a=c=d=0}
: 問題卡在{a=c=d=0}要怎麼變成{c=d=0}？
: 一般不是都可以在不失一般性下設其中一個變數為0，
: 為何這時得不到最後的答案呢？
: 請各位先進幫忙告訴我錯在哪裡，要怎麼補救這個證明呢？
: 感謝回答～
ac-bd=0  (1)
ad+bc=0  (2)
視(1)(2)為a,b的聯立方程組
i) 若(a,b)恰有一解為(0,0)，則c^2+d^2≠0
即{0}╳{0}╳R╳R － {0}╳{0}╳{0}╳{0} 為(a,b,c,d)的部分解集
ii) 若(a,b)有異於(0,0)的解，則c^2+d^2=0
即c=d=0,此時a,b可為任意值
即R╳R╳{0}╳{0} 為(a,b,c,d)的部分解集

由i,ii
{0}╳{0}╳R╳R ∪ R╳R╳{0}╳{0}
為(a,b,c,d)所有解集

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推 Lanjaja     : 謝謝ERT大常常幫忙解答邏輯的問題，想問一下最後要
→ Lanjaja     : 怎麼化成0X0XRXR 或 RXRX0XX？是否有比較系統性的過
→ Lanjaja     : 程？謝謝
→ ERT312      : 若 B ⊆ C 則 (A-B)∪C = A∪C
→ Lanjaja     : 謝謝ERT大，這個等式有點特殊，要想一下
→ ERT312      : 這個運算規則(或是可以看成一個定理)很直觀呀
→ ERT312      : A扣掉的部分在C裡面，所以聯C後又被加回來了
→ ERT312      : 證明也不難， (A-B)∪C ⊆  A∪C 很顯然，
→ ERT312      : 只證 A∪C ⊆ (A-B)∪C，若x在A∪C裡面，則x不是在A
→ ERT312      : 就是在C，若是在C就完成了，若不是在C就一定在A
→ ERT312      : x在A又可分兩種情況:x在B 跟 x不在B,若在B則也會在C
→ ERT312      : 又完成了。若不在B則會在A-B裡面，totally done.
推 Lanjaja     : 謝謝ERT大，原來是這樣