[微積] 泰勒展開在非零展開的意義是啥

[ntpuisbest (阿龍)]

我知道泰勒展開是一種函數以多項式逼近的方式


也知道在零展開為馬克勞林展開

https://i.imgur.com/f9NIKcn.jpg

我很想問個問題

如果我今天想要算f(5)

那我x應該是代入5吧

那我a到底要代入什麼數字才會最準?

0嗎？還是5

我的直覺是要代5拉

我知道代入零是馬克勞林展開

那代入其他數字的意義到底是啥

我不能代入100嗎？

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推 LPH66       : 有的函數在 0 寫不出來, 這時就要在別處展開
→ LPH66       : 例如對數函數, 它在 0 沒定義所以你寫不出來
→ LPH66       : 一般來說對數函數會寫它在 1 的展開:
→ LPH66       : ln(x)=(x-1)-(1/2)(x-1)^2+(1/3)(x-1)^3-...
→ LPH66       : 或是寫成 ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+..
→ LPH66       : 當然你對別處展開也行, 但係數你要算得出來
→ LPH66       : (就是你要算得出 f^(n) (a) 的值)
→ LPH66       : 另外就是截圖中下面的話, 在哪邊展開影響收斂半徑
→ LPH66       : 像上面這級數的收斂半徑是 1, 就是 x 能代 (-1,1]
→ LPH66       : 代其他數進去得到的級數不收斂
→ ntpuisbest  : 那如果我要算exp100,是不是就要代入x=100,a=100
→ LPH66       : 對某個 a 你要先算得出係數 f^(n) (a) 再說
→ LPH66       : 先寫得出級數出來再來看要代 x 是幾
→ LPH66       : 這樣吧, 先別多問, 你寫寫看 exp 在 a=100 的級數
→ LPH66       : (應該不是很難才對) 寫出來之後你再代看看 x=100
→ LPH66       : 看會發生什麼事
→ ntpuisbest  : Exp微幾次都是他自己哈哈，我發現如果a代入100就直
→ ntpuisbest  : 接退化了
→ ntpuisbest  : 好像代入0比較好算，但是不知道跟代入99比哪個比較
→ ntpuisbest  : 準
推 XinYuan     : 把原函數曲線想像成某個運動軌跡的話，a值就代表你
→ XinYuan     : 在某個位置f(a)的運動速度f'(a),加速度f''(a),等等
→ XinYuan     : a值類似你的觀察點~
→ ntpuisbest  : 所以為何對數函數要在1展開，不在2展開
推 LPH66       : 我猜就係數好算/漂亮吧, 你也能試試在 2 展展看
→ LPH66       : 開頭就給你一個 ln2 是也不到不能算但就...