Re: [其他] 質數多or完全平方數多

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《buffalobill (水牛比爾)》之銘言：
: 1到10000裡
: 完全平方數的數量有100個(1^2, 2^2, 3^2... 100^2)
: 質數的數量有1229個
: 1到1000000裡
: 完全平方數的數量有1000個(1^2, 2^2, 3^2... 1000^2)
: 質數的數量有78498個
: 看起來質數的數量遠遠大於完全平方數的數量
: 但我好奇會不會到某個很大很大的數字之後
: 質數的數量就比完全平方數還少？
: 還是有什麼辦法證明質數的數量會一直大於下去

引用 Prime Number Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem#Statement

令 P(x) 為不大於x的質數數量

則 lim P(x)*ln(x)/x = 1
   x->∞
令 S(x) 為 不大於x 的平方數數量

0 <= S(x)/P(x) <= √(x)/P(x) = √(x)/x*ln(x) * [x/P(x)/ln(x)]

lim √(x)/x*ln(x) = 0
x->∞

lim x/P(x)/ln(x) = 1
x->∞

所以 lim S(x)/P(x) = 0
     x->∞

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原出處：https://twitter.com/Hairi_1617/status/1521780942221631489

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1656651015.A.6FE.html
→ WINDHEAD    : 他問的是會不會一直大下去, 你這個只證明長期會大
→ WINDHEAD    : 並沒有排除他在某個數字會逆轉(之後又逆轉回去)
如若我能證明 lim S(x)/P(x) = 0
             x->0

那選定 ε= 0.9 ，必然存在一個 M 使得 所有 x > M 都有  S(x) < P(x)*ε < P(x)

這樣就沒有某個數字後逆轉的問題了吧？
→ WINDHEAD    : 我是說逆轉又逆轉回去的情況
原po想問的是"某個很大很大的數字之後"的表現

我這裡證明的是 某個很大很大的數字之後，平方數都會比質數少
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 07/01/2022 13:55:11