※ 引述《Yic0197 (科科科55)》之銘言：
: (代po)
: 大家好
: 想詢問附圖如何推得紅字部分
: 即變異數與平均在常態母體分佈關係
: 有聽到老師說上面可以變到下面這行
: 是因為函數獨立可進行函數轉換
: 但我不太懂函數轉換是什麼？
: 感謝
: https://i.imgur.com/T2xJtTu.jpg
若 U. V, W 等隨機變數相互獨立, f, g, h 等為任意函數使
f(U), g(V), h(W) 等仍為隨機變數, 則 f(U), g(V), h(W)
等隨機變數也相互獨立.
今依 Cochran 定理, (n-1)S^2/sigma^2 與 (Xbar-mu)^2/sigma^2
是相互獨立的卡方變量,
S^2 = ((n-1)S^2/sigma^2)*sigma^2/(n-1)
|Xbar-mu| = ((Xbar-mu)^2/sigma^2)*sigma^2
各是兩卡方變量的函數, 所以兩隨機變數獨立.
但 Xbar-mu 的分布是對稱(於0)的, 所以 S^2 也與 Xbar-mu
相互獨立. 但 Xbar = (Xbar-mu)+mu, 所以 Xbar 又與 S^2
相互獨立.
這是用 Cochran 定理來推證 S^2 與 Xbar 相互獨立; 事實上
也常會用其他方法來推證 (n-1)S^2/sigma^2 與 (Xbar-mu)^2/sigma^2
相互獨立進而導出 t 變量的分布. 有兩種方法常用的, 一是
在學過完備充分統計量後有一個定理可用來簡單推知 S^2 與
Xbar 相互獨立; 另一是直接證明離差
X1-Xbar, X2-Xbar,...,Xn-Xbar
聯合與 Xbar 獨立, 可以用動差母函數 (m.g.f.) 或特性函數
(ch.f.) 證明.
聯合獨立的觀念: (X,Y,Z) 與 (U,V) 聯合獨立是指由 X,Y,Z
所決定的事件都與由 (U,V) 所決定的事件獨立, 即
P[(X,Y,Z) in A, (U,V) in B]
= P[P[(X,Y,Z) in A] P[(U,V) in B]
以 m.g.f. 來說,
E[e^(rX+sY+tZ+pU+qV)] = E[e^(rX+sY+tZ)] E[e^(pU+qV)]
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