關於線性轉換的特徵多項式與基底無關的證明

[alan23273850 (God of Computer Science)]

如題，小弟剛讀完第五章第一節，已經知道它的標準證明，是利用相似矩陣的行列式不變的
事實。

但老實說，我初見此事實，第一眼想到的作法是利用線性轉換的特徵值固定，再搭配特徵值
必為特徵多項式的根的事實去證，但老實說這個方法只有在特徵值皆相異而且數量要跟維度
一樣的時候才適用。我想主要的問題便在於如何把這個方法推廣到重複特徵值或者是數量小
於維度的時候，請問各位板上大大有任何的想法嗎？穴穴大家。

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→ chang1248w  : T(A)有f(A) = 0
→ chang1248w  : 對於一個可逆的基底變換gp(x)=P^-1xP恆有
→ chang1248w  : gp(f(A)) = f(gp(A))
→ chang1248w  : 細節類似P^-1A^nP =(P^-1AP)^n
→ chang1248w  : 呃....我f和T沒處理好
→ alan23273850: 希望能針對任意線性轉換
推 Vulpix      : 不要只用特徵值固定，要用特徵空間固定。
→ alan23273850: 我知道特徵空間，但是那邊的推導確定不會用到這邊的
→ alan23273850: 結論？
推 arrenwu     : 你這邊特徵方程式的定義是甚麼？我總覺得你就是要先
→ arrenwu     : 能證明在任意基底下會有同樣運算結果才能定義線性
→ arrenwu     : 變換的特徵方程式？
推 Vulpix      : 他大概想要的是先定義一種basis-dependent的特徵方
→ Vulpix      : 程式吧。
→ alan23273850: 先知道固定 T 對每個 basis 都有一個特徵多項式，再
→ alan23273850: 因為 T 的特徵值 (多項式的根) 固定，故多項式也要
→ alan23273850: 固定才可以。然後以上論述只對相異特徵值，數量等於
→ alan23273850: 維度的時候才適用。
推 arrenwu     : 要得到你想要的結論，你得要找出特徵方程式有重根
→ arrenwu     : 會怎麼反應在 T 的特徵值表現上
→ chang1248w  : 幹嘛那麼麻煩...
→ chang1248w  : det(T-xI)=det(A^-1(T-xI)A)=det(A^-1TA -xI)
→ chang1248w  : 或者由基底變化前後會是similar的，也可以得到
推 arrenwu     : 他文章一開始就說了啊 想用相似矩陣的行列式值不變
→ arrenwu     : 以外的做法咩XD
推 Vulpix      : 我名詞好像用錯了，是invariant subspace。
→ chang1248w  : ...
→ alan23273850: Vulpix 大的方法等我熟悉完 Sec 5.4 之後再回來看，
→ alan23273850: 也謝謝其他位大大的協助囉～
推 Vulpix      : 更精確的名詞是 generalized eigenspace。