Re: [中學] 絕對值 相關問題

[poyu2303 (poyu)]

※ 引述《tonyhawk320 (遊戲人生)》之銘言：
: 把數線1-2000分為兩組a1,a2,...,a1000與b1,b2,...,b1000
: 其中a1>a2>...>a1000 且 b1<b2<...<b1000
: 試求: |a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+...+|a1000-b1000| 最小值 並 證明?

設1001~2000有k個在<a_n>，而1001~2000有(1000-k)個在<b_n>，

即a1~ak均≧1001，且b_k+1~b1000均≧1001。

此時1~1000有1000-k在<a_n>，而1~1000有k個在<b_n>，

即a_k+1~a1000均≦1000，且b1~bk均≦1000。

故當1≦i≦k時，故|ai-bi|=ai-bi；
  當k+1≦i≦1000時，故|ai-bi|=-ai+bi。

因此去絕對值時1001~2000均為正值，1~1000均為負值，
也就是說原式=(1001+1002+...+2000)-(1+2+...+1000)
            =1000+1000+....+1000
            =1000^2

舉例：<a_n>是4、3時，|4-1|+|3-2|=4-1+3-2
      <a_n>是4、2時，|4-1|+|2-3|=4-1+3-2
      <a_n>是4、1時，|4-2|+|1-3|=4-2+3-1
<a_n>、<b_n>有對稱性不用討論32、31、21。

PS：這題出的不好，定值的東西不會去問極值。

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※ 編輯: poyu2303 (36.229.130.182 臺灣), 07/11/2022 21:03:16
推 Vulpix      : 故意的吧。