[分析] 最小週期函數相加的最小週期

[znmkhxrw (QQ)]

先嚴格敘述想證明或反正的東西之後再補上我的觀察:
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令f為具有最小週期p_1的週期函數
  g為具有最小週期p_2的週期函數

若(1) p_1/p_2 = q/p, 其中p,q是互質的整數
  (2) f+g是具有最小週期的週期函數

則f+g的最小週期是p_1*p=p_2*q
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一般很常看到的敘述是:
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令f為週期p_1的週期函數
  g為週期p_2的週期函數

若p_1/p_2 = q/p, 其中p,q是整數

則f+g是週期p_1*p=p_2*q的週期函數
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也就說沒規定最小週期, 也沒規定互質, 一切都很寬鬆

而今天我f,g加上了最小週期以及週期比例互質後, 仍發現f+g可能不會有最小週期

如: f(x) = sin(x), g(x) = -sin(x), 相加後變成常數, 不具有最小週期

因此我才猜測, 如果更加強迫f+g是有最小周期的, 那是否最小週期就是p_1*p=p_2*q


目前證明跟反例都找不到...

網路上都是f+g是否為週期函數的等價條件討論, 不是我要的

再麻煩各位板友了, 謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
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※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 07/15/2022 03:16:55
→ willydp     : f(x)=sin(x)+sin(2x), g(x)=-sin(x) 就是反例了？
→ znmkhxrw    : 對耶...謝謝w大 原本我預期連續性可能可以證明 不
→ znmkhxrw    : 用證了XD
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 07/15/2022 06:07:13
推 Vulpix      : |sin x|+|cos x|是前車之鑑。
→ znmkhxrw    : V大這個也是一個反例, 感覺很容易造成反例耶XD 看起
→ znmkhxrw    : 來相加後的最小週期只能看實際情況了
推 TimcApple   : 設 f(x) 週期 T, g(x)=sum[k=1 to n-1] f(x+kT/n)
→ TimcApple   : 則 f(x)+g(x) 為常數函數，或週期整除 T/n
原來有這個, 等等玩玩看 謝謝!

→ TimcApple   : 這代表相加後，可以做出非常多奇怪週期
推 Vulpix      : 但可以給出一個 uniform upper bound: T。原題也一
→ Vulpix      : 樣可以，但要找週期就只能一題一題看。
了解~~
※ 編輯: znmkhxrw (42.79.143.139 臺灣), 07/17/2022 11:27:29