[機統] 兩獨立標準常態給定和小於0

[coastq22889 (chi_square)]

遇到一題給定 X, Y為兩獨立標準常態

求給定X+Y<0的情況下，X, Y的相關係數

https://i.imgur.com/ar26bon.png

目前是想說分別算出X, Y的條件共變異數與條件變異數

但積分積不出來，不知道這個方向對不對

https://i.imgur.com/hCcarMQ.jpg

懇請大家給點方向

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.240.221.80 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1658990238.A.78C.html
→ njru81l     : 第四行是減。另外積分應該積得出來。E(X|X+Y<0)=E(X
→ njru81l     : +Y|X+Y<0)/2。
→ njru81l     : X+Y也是normal，標準差✓2。E(X+Y|X+Y<0)=-✓2E(|X|
→ njru81l     : )=2/✓π
→ njru81l     : 所以E(X|X+Y<0)=1/✓π
→ njru81l     : XY 和 X^2 項，利用對稱性，應該可以換成和 Y<0條件
→ njru81l     : 下，期望值相同，而分別得0、1
→ njru81l     : 如果以上沒算錯的話答案是1/(1-π)