[線代] Inner product space over R or C?

[alan23273850 (God of Computer Science)]

各位板友大家好，打給賀，太軋賀，小弟又有問題想上來請教各位：
https://i.imgur.com/M3hr1uq.png

這次的主題是關於 inner product space over C 還是 over R 的界定問題，

聖經本 6.1 節最後的習題一直在考變換 inner product 的係數範圍，著實讓我有點困擾

舉例來說，附圖中的 27 題很清楚地限定了係數在實數域，這個我沒問題，推導也很順利.

28 題說 [] 是一個單純擷取內積 <> 的實部部分之函數 (此時 [] 內係數可以是複數)，

只是要證明當 [] 的係數限制在實數的時候，此函數的對應關係亦滿足 inner product 的

四條定義，這邊我也還過得去，因為有明顯的脈絡。

但到了 29 和 30 題就很怪了，29 題說 [] 是 real inner product 是指輸出為實數，

還是連帶輸入係數也要是實數呢？後面又說 over R, 那怎麼會有 [x, ix] = 0 呢？

這邊出現了複數 i 呢。又下一句 <x,y> = [,] + i[,], 看起來 [] 輸出應該都是實數，

所以這一題把 over R 摘掉，就對了嗎？

那 30 題跟 29 題一樣，明明係數最後都有可能是複數，那為何都要先強調 over R 呢？

有專業的大大可以解惑嗎？小弟我非常不解...

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推 Ben40       : 感覺29題是要讓你從實數擴充到虛數
→ yhliu       : [a,b] 似乎是把 a,b in C^n 看成 a,b in R^(2n).
→ alan23273850: 我有想過擴充這件事，但是其實這是 nonsense, 因為
→ alan23273850: 函數 f 要擴充成 g 如果沒有額外的條件，那擴充的
→ alan23273850: 部分就沒有應該規範，不唯一。
→ alan23273850: C^n 和 R^(2n) 又有何差異呢？
→ alan23273850: 而且乘以 C 和乘以 R 都要在裡面，那麼規則要怎麼
→ alan23273850: 律定呢？
結果經過一晚的沉澱之後我好像想通了，不能因為出現 ix 就說它是 over C, 因為 ix
仍然是 V 裡面的一個向量。所以真正要判定 inner product 是 over R 還是 over C, 是
看那四條規則的經過係數變化之後有沒有維持滿足，更精確地來說，只要看課本定義的第
(b) 條 <cx,y> = c<x,y> 在 c \in R or C 有沒有滿足即可！
穴穴各位板友提供的 idea, 我決定奉送大家 100P！
※ 編輯: alan23273850 (140.109.16.166 臺灣), 07/29/2022 13:05:07