[分析] 連續&離散型週期函數之最小週期(Solved)

[znmkhxrw (QQ)]

想討論下面事情:
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令f(x)  :R→R 為具有最小週期為p的週期函數
  f_k(n):N→R, defined by f_k(n):=f(n*p/k) for all k€N
              即取樣頻率 = k/p

則可知for each k€N, f_k(n+k) = f_k(n), 即k是離散型週期函數f_k的週期

但是k不一定是f_k的最小週期(反例有需要我再提供)

我的猜想是k夠大就可以: 存在K€N使得f_k的最小週期都是k for all k>=K

更好的是可以得到K與f(x)的定量關係
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這個猜想我覺得是對的原因是k越大, 相當於取樣頻率越大, 點越密集到逼近連續

而由於f_k的最小週期m_k會整除任何週期, 因此有m_k│k, 即存在q€N使得k = q*m_k

而因為q是正整數, 所以我高度猜測k夠大時q會被逼到1


最後提一下這個問題的動機, 因為訊號處理錄訊號是離散的, 所以在某個取樣頻率f_s下

我錄製的離散型訊號如果最小週期是m, 在假設:(1) 原訊號有最小週期p
                                          (2) p*f_s€N

可以得到m│p*f_s

所以當整除變成相等時, 我就能推得p = m/f_s

也就是說, 我一開始問的問題如果是對的, 那有足夠的理由去說明:

只要取樣頻率越高, 原訊號的最小週期就是離散訊號的最小週期除以取樣頻率


再麻煩各位板友, 謝謝!
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<Update>

(1)
在找反例的過程, 我想到用處處不連續的函數造
但是我目前想到的處處不連續函數都沒有最小週期
如果可以提供處處不連續但是有最小週期的函數也麻煩提供一下
謝謝!

(2)
我現在證到: 若f(x)是連續函數, 則原命題成立
但是想要拔掉連續函數, 就必須證另外一個猜想:
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令f(x)為具有最小週期p>0的週期函數
若(1) f至少有一個連續點(因為週期函數, 所以有無窮多個)
  (2) 存在0<s<=p 使得f(x) = f(x+s), for all x, x+p in the set of continuous po
ints of f
則 s = p
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謝謝幫忙~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.230.140.182 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1659426433.A.82F.html
推 PPguest     : 在[0,1)之間,有理數是0,無理數是1,以1為週期一直重
→ PPguest     : 複,不知道這樣有沒有滿足(1)
嗨P大, 這個經典的函數是任何正有理數都是週期, 所以不存在最小週期
剛剛朋友給了例子, f(x) = 2+sin(2*pi*x), x 有理
                         0            , x 無理
則f(x)是最小週期為1的週期函數而且處處不連續
※ 編輯: znmkhxrw (36.230.140.182 臺灣), 08/02/2022 20:37:51
→ PPguest     : 無理數是不是也有一樣的問題?正無理數的整數倍應該
→ PPguest     : ……先當我沒說
→ PPguest     : 這種造法正無理數不會是週期,沒有問題
推 PPguest     : 那這個函數呢？在[0,1)區間,x是有理數時是0,x是無理
→ PPguest     : 數時是x,這樣最小週期應該是1
我有誤會你的造法嗎 這個也是所有正有理數都是週期耶@@

→ PPguest     : f(pi/4+0.1)=/=f(pi/4)
→ PPguest     :            ≠
喔喔我看太快, 我以為你只是0,1互調XD, 那是沒錯

推 LPH66       : 把上面函數的 x 換成 (x-q)(x-q-1/2) 其中 0<q<1/2
→ LPH66       : 是無理數, 這樣好像是你後面那猜想的反例
→ LPH66       : 所有連續點是 q+n/2 (n 整數) 其值都是 0
喔喔!! L大的意思是這個函數f(x)如你所造的話, 就會是最小週期為1的週期函數
然後f(x+1/2) = f(x) for all x in the set of continuous points of f

→ PPguest     : 在[0,1)區間,x是有理數時是0的例子,如果我沒想錯,應
→ PPguest     : 該是最前面猜想的反例.因為取樣的點都是有理數,值都
→ PPguest     : 一樣,這樣子不論K多大,離散數列的"最小週期"都是1
推 PPguest     : 原來已經解決了.好奇請問一下,這個問題有需要考慮取
→ PPguest     : 樣的頻率有可能沒有剛好對到原函數的週期p嗎？
要, 就是只能考慮那些具有 f_s*p€正整數 的取樣頻率f_s
而為了討論方便, 所以我po文時就直接令取樣率f_s = k/p了
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 08/03/2022 21:42:00