Re: [分析] 差分係數與反Z轉換絕對和關係

[bluepal (我蓮蓬頭達人QK啦)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下給定係數a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0
: 定義H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
: 令分母的零點為p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|}
: 並假設 R < 1
: 則我們知道H(z)可以在{|z|>R}展開成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n)
: 我想知道 Σ_{n=0} |h_n| 跟這些係數有什麼公式上的關係?
: P.S. (1) 如果分子跟分母的零點有相同, 那只會讓展開範圍更大而已
:      (2) h_n = 0 for all n < 0是因為我取最外面的ROC, 因此是causal case
:      (3) 假設R<1是為了讓 Σ_{n=0} |h_n| < ∞
: -----------------------------------------------------------
: 問題動機如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺積)
: 我們知道一個LTI系統是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞
: 而且當BIBO時, 若|x_n| <= M 則 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n|
: 今天我用差分方程實作y_n時, 我想要控制y_n的範圍
: 因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n|
: 另外google查過 "maximum output iir" 這類的關鍵字沒得到想要的結果
: 順帶一提, 我原本認為看 |H(exp(iw))| 的最高點即可
: 也就是說, 假設|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π]
: 我原本以為會有 " 若|x_n|<=M, 則|y_n|<= G*M "
: 因此只要把輸出除以G, 就能把輸出控制在一樣的M內
: 但是很容易有反例
: 還是說其實真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高點即可, 只是係數要配好?
: ===========================================================================
: 謝謝幫忙~

想釐清一下問題是否是這樣:
已滿足BIBO stability condition的一邊(sufficient)

y_n := (h＊x)_n

(1) |x_n| <= M
(2)  <h_n>1 :=Σ_{n€Z} |h_n| < ∞ (我用< >1表示1-norm不然很醜)

可證明|y_n| bounded by: |y_n|<= M乘<h_n>1

因為實用上雖然已知|y_n| bounded 但想控制y_n 需要<h_n>1的值
所以想至少拿到上界?

如果是這樣

H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)

上下都是degree為2的 多項式
建議先相除 再改為partial fraction的形式:

所以可以整理成 H(z)=C_2 + C_0/(z-p_0) + C1/(z-p_1) *

p_0, p_1是你上面寫的poles
C_i是由你的係數決定的複數 i=0, 1, 2

三角不等式: |H(x)|< |C_2| + |C_0/(z-p_0)| + |C1/(z-p_1)|
(粗略想法而已後面直接展開了)

而且我們知道Lorentz展開有唯一性

可以討論形式 C/(z-p)   z, C, p都是複數
你的case在poles外面展開且R<1 令 |p|<|z|, 1<|z|  (選絕對值大於1的|z|)

C/(z-p)=(1/z)[C/(1-p/z)] ,因為|p/z|<1

       =(C/z)(Σ_{n=0} h3_n * z^(-n)) , for some h3_n€C (這邊只是1/(1-r)展開)

       =C(Σ_{n=1} h3_n * z^(-n))

其實 h3_n=p^(n-1)


式* 中第二第三項可以展開成上面形式
得到: H(x)= C_2

             + C_0(Σ_{n=1} h0_n * z^(-n)) + C_1(Σ_{n=1} h1_n * z^(-n))


                                         for some C_0, C_1, h0_n, h1_n€C


其實 h0_n=(p_0)^(n-1)
     h1_n=(p_1)^(n-1)


三角不等式:

|H(x)|< |C_2|

             + |C_0|Σ_{n=1}|h0_n|*|z^(-n)| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n|*|z^(-n)|


      < |C_2| + |C_0|Σ_{n=1}|h0_n| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n| ,因為|z|>1
                       ^^^^^^^^可以求和回去    ^^^^^^^^可以求和回去
:                                 令M0                    令M1
: 唯一性:              h_n=C0乘h0_n+C1乘h1_n
:                      h_0=C2
: 三角不等式(取|z|>1): <h_n>1<=|C_2| + |C0|乘M0 + |C1|乘M1

原本要控制<h_n>1 現在改成控制|C_2|, |C_1|, |C_0|, |p_0|, |p_1|
拿到一個很粗糙上界


不知道有沒有幫助?





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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.39.221 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1662568713.A.755.html
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 00:46:34
推 znmkhxrw    : 謝謝h大回應, 我回覆如下:
→ znmkhxrw    : (1) 您對問題的重新敘述, 跟我的問題是100%吻合
推 znmkhxrw    : (2) 看後面的邏輯, 你是估計出某個M使得|H(z)|<=M?
→ znmkhxrw    : 其中z是某個滿足|z|>1的複數
→ znmkhxrw    : 如果是這樣的話, 我不懂下列(A)式為什麼能推得(B)式
→ znmkhxrw    : (A) |H(z)|<=M for some |z|>1
→ znmkhxrw    : (B) Σ_{n€整數} |h_n| < ∞
→ znmkhxrw    : 因為絕對值的方向過不去
推 Vulpix      : h_n=h0_n+h1_n，代進1-norm，絕對值用三角不等式拆
→ Vulpix      : 開。然後會拿到兩個等比級數，加起來即可。
→ bluepal     : Sorry昨天後面都重複 複製貼上貼上漏了一段...
→ bluepal     : 對 用Lorent expansion的唯一性
→ bluepal     : 所以才會有一個唯一性流在上面沒動...
→ bluepal     : 重點在那邊發現可以根本求和回去
→ bluepal     : 如果要寫證明那段可以略去 直接寫V大說的
→ bluepal     : 只是我習慣把思路寫下來
→ bluepal     : 我改一下好了
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 18:28:37
推 znmkhxrw    : 麻煩了, 我還是對不太上QQ
→ bluepal     : 綠色那段 我這次用M1 M2不然好長..
→ bluepal     : 想法是用partial fraction分解把係數的責任丟到C2
→ bluepal     : C0 C1身上
→ bluepal     : 這樣分解有好處 跑出來的Lorentz 展開是poles的等比
→ bluepal     : 級數可以求和
→ bluepal     : 因為有唯一性 原本的 h_n 和後來的三等分其實一對一
→ bluepal     : h_n的1-norm 就能用後來那三分控制
→ bluepal     : 因為如果用你一開始係數太難做了所以才用分解著手
→ bluepal     : 不過因為是2次原本係數和C之間有公式解
→ bluepal     : 如果高次 有機會知道ROC可以直接帶R就好
→ bluepal     : 也不用理poles有哪些
→ bluepal     : 我最後的忘記乘C1,C0了...C2+C1乘M1+C0乘M0
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 18:55:10
→ bluepal     : 順便改成M1 M2
→ bluepal     : M0 M1囧
推 znmkhxrw    : 我看懂idea了, 把h寫成h1+h2, 其中後兩者的1-norm即
→ znmkhxrw    : 是幾何級數即可! 另外我說不等式方向怪怪的是在b大
→ znmkhxrw    : 三角不等式那邊的敘述, 這樣h的1norm會帶有z項, 跟
→ znmkhxrw    : 所求的h的1norm仍有段距離, 因此照V大說的直接對h=h
→ znmkhxrw    : 1+h2取絕對值跟三角不等式後sum起來就結束了, 謝謝
→ znmkhxrw    : 兩位幫忙~
→ bluepal     : 3個係數C也要考慮 如果你要控制上界 即使有R也要
→ bluepal     : 這裡只是把苦工從原本係數轉嫁到求C和求根而已
→ bluepal     : 求根是最難的在高次 不過如果直接有ROC 困難點在C
→ bluepal     : 我是覺得寧可把中間的想法寫出來對讀者比較友善
→ bluepal     : 所以中間很多多餘的式子 有時候沒經過中間過程
→ bluepal     : 只會讓別人覺得你到底在幹嘛 之後又要再講一遍
→ bluepal     : 不然中間那個(粗略想法.. )和一半出現的L展開唯一
→ bluepal     : 性也可以完全不用寫
→ bluepal     : 這個證明直接順順把式子寫完就出來了
→ bluepal     : 最簡潔證明就是(1)寫出分解後的展開(2)比較係數
→ bluepal     : (3)三角不等式 END
→ bluepal     : 然後多餘一點就是absolute convergence可以做
→ bluepal     : rearrangement不影響求和
→ bluepal     : 我承認寫想法也可以賺P幣(?)
推 znmkhxrw    : 理解你的意思 我是發問者所以就會下意識認為每句話
→ znmkhxrw    : 都是在推導或是證明我的需求 當看到沒那麼直接相關
→ znmkhxrw    : 卻好像又有關係的式子 我就會去猜對方是想表達什麼
→ znmkhxrw    :  又或是我誤會了什麼 或是對方在延伸什麼 因此b大你
→ znmkhxrw    : 的"寫成部分分式+展開幾何級數+係數唯一+對係數取三
→ znmkhxrw    : 角不等式後取級數", 這樣就是我認為的正解, 而不同
→ znmkhxrw    : 人對於上述的表達方式可能不太一樣, 所以就有討論
→ znmkhxrw    : 的空間, 謝謝!
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 00:46:42
→ bluepal     : 讓我賺一點P幣也好(?)