Re: [分析] 雙向遞迴數列的推導問題

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 嗨r大, 最後問個實作與理論結合性的問題:
: 考慮 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 這個差分方程
: 使用雙向Z轉換的話, 可以找到三個h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分別是:
:
: h1_n =  0.8*(-1/2)^n*u_n      + 1.2*2^n*u_n
: h2_n =  0.8*(-1/2)^n*u_n      - 1.2*2^n*u_(-n-1)
: h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1)
:
: 其中u_n := 1 , n>=0
:            0 , n<0

這三個對應的 H 剛好有著互斥的 ROC。
而彼此之間的差，會是 (-1/2)^n 和 2^n 的線性組合。

所以原方程的一般解應該是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。
最後那項只是個特解，是我們希望要有某種性質的特解。
例如：當 n<0 時，y=0。

雖然解了三個 h 出來，但其實能用的 h 還有無限多個。
而這三個之所以特殊，就是因為他們各自對應一些邊界條件。

:
: 接著有兩個實作上的問題:
: (1) 單純考慮差分方程有無窮多組解(初始值決定)
:     我怎麼知道要怎麼設初始值, 才是我要的對應到的h_n的y_n?
:     例如取怎樣的x跟y的初始值則會有解y_n會等於(h1＊x)_n
:

如果 x 項數有限(compactly supported)，那任何一個 h 都無所謂。
而如果 x 沒有 compact support 的話，就得看 X 的 ROC 了。
的確如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。
但問題也在這裡，x_n = 1 這個 1 數列，他的 X 是處處不收斂的。
而這個數列好像也在你有興趣的範圍裡面（BI），所以總有打交道的機會。

: (2) 假設(1)的問題完美解決, 即針對我要的h我都可以找到我要的初始值
:     那選哪個h重要嗎? 因為這三個h的H(z)都一樣(只是不同ROC)
:     所以頻率響應 H(exp(iw))也是一樣的(甚至相位都一樣),
:     那我隨便選一個h來當filter不就相同效果?

畢竟這些 h 其實是這樣找出來的：脈衝δ(0,n)輸入的響應。
所以 h 自然與 x 無關。

而任何一個 x 都可以看成是 δ＊x。
所以 y_p 也自然就會是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差個齊次解。

上述過程與微分方程中，藉由源項δ(x-x')來找出響應 G(x,x') 的方式相同。
所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困難，
在這裡也都能看到離散的版本。

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推 bluepal     : 原來還有前面討論唷
推 znmkhxrw    : 是相關但是可以分離, 這些問題都是從實作上而想到的
→ znmkhxrw    : 數學問題XD
推 bluepal     : 你的問題滿好玩的XDDD 真的感覺是實務上會碰到
推 znmkhxrw    : 不好玩QQ 這些問題都是我工作上遇到相關的整理後才
→ znmkhxrw    : 發問的 因為我太習慣純理論數學的敘述邏輯跟順序
→ znmkhxrw    :  接觸跟工程實務相關的數學在論及前因後果時都覺得
→ znmkhxrw    : 很頭大
→ znmkhxrw    : ...