Re: [分析] 雙向遞迴數列的推導問題

[Vulpix (Sebastian)]

對了，你對 BIBO 的理解有一點點錯誤。
就是 h \in l^1 應該只是充分條件而不是充要條件。
(L^∞)* 可以刻劃得不錯，一個 L^1 和一個 l^1，
再加一個 bounded singular continuous functions 就可以搞定。
（經典例子是 Cantor function。）
(l^∞)* 應該是 l^1 加上一個
linear functionals vanishing at sequences converging to 0。
不過如果要求要有一個 h 作為代表的話，那就可以當充要條件，
因為後面那個 (c_0)* 沒辦法用數列表示。
這時候 BIBO 除了字面上的意思以外，還有一些弦外之音。

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 謝謝V大回應, 推文很難看, 我逐段以這色回文
: ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: : 嗨r大, 最後問個實作與理論結合性的問題:
: : 考慮 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 這個差分方程
: : 使用雙向Z轉換的話, 可以找到三個h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分別是:
: : h1_n =  0.8*(-1/2)^n*u_n      + 1.2*2^n*u_n
: : h2_n =  0.8*(-1/2)^n*u_n      - 1.2*2^n*u_(-n-1)
: : h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1)
: : 其中u_n := 1 , n>=0
: :            0 , n<0
: 這三個對應的 H 剛好有著互斥的 ROC。
: 而彼此之間的差，會是 (-1/2)^n 和 2^n 的線性組合。
: 令這三個h叫作h1_n, h2_n, h3_n
: 這是指(1) h1_n - h2_n = A*(-1/2)^n + B*2^n
: 還是指(2) (h1＊x)_n - (h2＊x)_n = A*(-1/2)^n + B*2^n, 其中A,B與x有關 --(●)
: 而依照後續回應, 假設您說的是(2)

雖然都是對的，不過我說的是(1)
因為我現在是把 h 當成 δ_n = δ(0,n) 的響應。
利用 u_n + u_(-n-1) = 1 這條恆等式，我們知道 h1_n - h2_n = 1.2*2^n。
而 h2_n - h3_n = 0.8/(-2)^n

: 所以原方程的一般解應該是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。
: 最後那項只是個特解，是我們希望要有某種性質的特解。
: 例如：當 n<0 時，y=0。
: 這裡說的原方程的一般解, 嚴格敘述是否如下:
: 令x_n固定, 則解空間 S:= {y_n│y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1)}
: 會滿足 S = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n│A,B€R}
: 若是的話, h是哪一個h? 還是任意一個都可以

是。在收歛性沒有壞掉的前提下，任意一個都可以。

: 也就是說, {A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n│A,B,a,b,c€R}
:         = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h1＊x)_n│A,B€R} ((●)可立得此等號)
: V大是這個意思嗎?

如果你的 a+b+c=1 的話，應該沒有問題。

: 雖然解了三個 h 出來，但其實能用的 h 還有無限多個。
: 而這三個之所以特殊，就是因為他們各自對應一些邊界條件。
: 能用的h無限多個就是h1,h2,h3的線性組合?
: 可是因為這三個h的ROC不一樣, 把他做線性組合我怎麼覺得抖抖的XD
: 還是說做了線性組合後(比如h:=h1+h2+h3), 可以做時域摺積h＊x
: 但是就不能做z轉換了, 因為ROC互斥, 這就是我覺得抖的地方?

是要跟 h1,h2,h3 共平面的所有 h。
而且的確就會不能做 z 轉換，不過解方程的過程中本來就不一定要用轉換啦XD
想要用上 z 轉換，那大概就只能用這三個 h 了。

: : 接著有兩個實作上的問題:
: : (1) 單純考慮差分方程有無窮多組解(初始值決定)
: :     我怎麼知道要怎麼設初始值, 才是我要的對應到的h_n的y_n?
: :     例如取怎樣的x跟y的初始值則會有解y_n會等於(h1＊x)_n
: 如果 x 項數有限(compactly supported)，那任何一個 h 都無所謂。
: 而如果 x 沒有 compact support 的話，就得看 X 的 ROC 了。
: 的確如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。
: 但問題也在這裡，x_n = 1 這個 1 數列，他的 X 是處處不收斂的。
: 而這個數列好像也在你有興趣的範圍裡面（BI），所以總有打交道的機會。
: 我的原問是"如何選定初始值", 而您回應任何一個h都無所謂
: 是不是因為: 若x有緊緻支撐
:             則拿h1,h2,h3的任意線性組合當h所得到的y_n := (h＊x)_n
:               都會是相同的y_n?

不是。就像你前面想的，y_n 可能會差一點齊次項。
因為對應的邊界條件不一樣了。

:             即{y_n│((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n, for any a,b,c}的元素個數只有1
: 這結論好像怪怪的...我應該是有誤會你"任何一個h都無所謂"的意思了?
: 而且即便是對的, 跟原問題說的"如何選定初始值"存在怎樣的關係呢?
: 隨便選初始值 => 解y_n = A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n
:                 for some A,B,a,b,c€R
: 然後我就看不出來當x有緊緻支撐時, ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n這項為什麼會一樣

因為初始值決定的東西是 A 和 B。
其實這也跟你當初的問題有關：反 z 轉換怎麼好像只有一個 y。
如果要把初始值的影響放進來，那要動的東西就是 A 和 B。

所以 A 和 B 會因為選用的 h 不同而改變。
雖然會變，A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n 卻還是同一個。

我們在特定的邊界條件下解出一個 y = h＊x。
這個 y 只是在這個邊界條件下 well-behaved，換一個邊界條件就是狂亂的。

:               都會是相同的y_n?

不是。就像你前面想的，y_n 可能會差一點齊次項。
因為對應的邊界條件不一樣了。

:             即{y_n│((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n, for any a,b,c}的元素個數只有1
: 這結論好像怪怪的...我應該是有誤會你"任何一個h都無所謂"的意思了?
: 而且即便是對的, 跟原問題說的"如何選定初始值"存在怎樣的關係呢?
: 隨便選初始值 => 解y_n = A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n
:                 for some A,B,a,b,c€R
: 然後我就看不出來當x有緊緻支撐時, ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n這項為什麼會一樣

因為初始值決定的東西是 A 和 B。
其實這也跟你當初的問題有關：反 z 轉換怎麼好像只有一個 y。
如果要把初始值的影響放進來，那要動的東西就是 A 和 B。

所以 A 和 B 會因為選用的 h 不同而改變。
雖然會變，A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n 卻還是同一個。

我們在特定的邊界條件下解出一個 y = h＊x。
這個 y 只是在這個邊界條件下 well-behaved，換一個邊界條件就是狂亂的。

一旦「初始條件」和「邊界條件」沒有搭配好，方程式會無解。
例如在後面解的題目中，
如果要求 y 在 n 很大的時候是 0 ，卻仍然要求初始條件 y_4=1，就會無解。

: : (2) 假設(1)的問題完美解決, 即針對我要的h我都可以找到我要的初始值
: :     那選哪個h重要嗎? 因為這三個h的H(z)都一樣(只是不同ROC)
: :     所以頻率響應 H(exp(iw))也是一樣的(甚至相位都一樣),
: :     那我隨便選一個h來當filter不就相同效果?
: 畢竟這些 h 其實是這樣找出來的：脈衝δ(0,n)輸入的響應。
: 所以 h 自然與 x 無關。
: 而任何一個 x 都可以看成是 δ＊x。
: 所以 y_p 也自然就會是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差個齊次解。
: 上面這兩段給我一種"好像理解了什麼"的感覺, 但是又說不上來XD
: 如果我先給了h, 那令x_n=δ(0,n), 自然得到 h_n = (h＊x)_n
: 而x_n = (δ＊x)_n 能類推 y_p_n = (h＊x)_n, 就只能說略懂略懂...

那不如就直接拿幾題來跑一遍吧。

先來個簡單的 y_n - y_{n-1} = x_n
顯然 y_n = y_0 + x_1 + x_2 + ... + x_n  for n>0
y_0 - x_0 - x_{-1} - ... - x_n  for n<0
但這種寫法麻煩又無趣，所以可能開始考慮不要依賴初始值 y_0 的寫法。
例如挪動「初始」的位置，換成 -1 或 -2 或負更多的數字直到極限？
那這樣我們可以在不那麼深思熟慮的情況中，寫下
y_n = y_{-∞} + x_n + x_{n-1} + ...
= y_{-∞} + Σ_{k=-∞}^n x_k
= y_{-∞} + (u＊x)_n
或者也可以寫成
y_n = y_{∞} - Σ_{k=n+1}^∞ x_k
= y_{∞} + [(u-1)＊x]_n
但這兩個寫法明顯都依賴於 y 在 |n|>>1 時的行為，至少要在一端收斂。

這個 y_n - y_{n-1} = x_n 的齊次解很容易計算，y_n - y_{n-1} = 0 => y_n = c。
也就是說齊次解是個常數，如前面的 y_{-∞} 和 y_{∞}。
在 y_{-∞} 存在的情況下，u 就是脈波響應。
而在 y_{∞} 存在的情況下則換成可以拿 u-1 當作脈波響應。
兩個脈波響應只差了 1（此為齊次解），都同樣能有作用，
即使 u＊x 與 (u-1)＊x 算出來不一樣，但只要存在，他們就的確都是特解。
是相應於不同邊界條件的特解。

而此時會受到初始條件影響的東西，是 y_{-∞} 和 y_{∞}。
也就是說，不同初始條件與特解（那個捲積）的計算過程無涉，
但是會改變齊次項。

前面的計算，我們沒有仔細考慮 h＊x 這種捲積是否存在，
也沒有細想 y 的極限是否存在。
如果 x=1 呢？捲積不存在，而且 y 兩側的極限也都不存在。
在這種情況下，上面那些看起來很有簡約美感的公式都沒有意義了。

同樣地 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 的解，
也必須在天時地利人和的情況下，才能寫成 h＊x 這個形式。
1. 一般來說應該要有齊次項：A*(-1/2)^n + B*2^n。
2. h＊x 也不見得會收斂，即使三個 h 都拿去試試看也可能三個都不收斂。
不過對於「訊號處理」來說，反正這些訊號不存在於遙遠的過去，
在遙遠的將來也不必存在，所以很多時候都可以用最優的條件來看 x 吧。

對 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 加點條件，來解看看吧。
x_1=1、x_2=2、x_3=3、其餘的 x_n=0。

如果要求 y 在 n 夠小的時候要是 0，解會是
y_1 = 2、y_2 = 6、
y_n = 0 for n<0、
y_n = 1.65*2^n - 14.4/(-2)^n for n>2，
而這就是 h1＊x，與 h1 共享同一邊界條件。

如果要求 y 在 n 夠大的時候要是 0，解會是
y_1 = -8.5、y_2 = 3、
y_n = -1.65*2^n + 14.4/(-2)^n for n<0、
y_n = 0 for n>2，
而這就是 h3＊x，與 h3 共享同一邊界條件。

如果要求 y 在 |n| 趨向 ∞ 時仍保持有限（其實會收斂到 0），解是
y_1 = -1.3、y_2=-0.6、
y_n = -1.65*2^n for n<0、
y_n = -14.4/(-2)^n for n>2，
這個就是與 h2 共享同一邊界條件的 h2＊x 了，也是唯一一個 BIBO 的 BO。

順便也可以驗算一下 h1＊x-h2＊x = 1.65*2^n。
所以也證實了他們真的都是特解，只不過需要的邊界條件不同罷了。

然後關於「好像懂了什麼」，我猜你正在體會脈衝響應的意義。
這其實是個埋在 LTI 的定義裡的伏筆。
定義裡面有一條「非時變」是要求 L 與差分（或移位）算子可交換，
這讓以下計算得以成立（當然線性也是必要的）：
Lh=L'δ => (Lh)＊x=(L'δ)＊x => L(h＊x)=L'(δ＊x)=L'x
所以 h＊x 就是一個 y 的特解。
然後捲積又會保持很多 h 的特性和 x 的特性，
找找這方面的定理，就能確認 h 會與 h＊x 滿足相同的邊界條件。

不過因為我不想處理收歛性的問題，所以我先把 x 限制在有緊緻支撐的情況下。
一般的情況還要再推廣，我想應該跟推廣傅立葉轉換的過程大同小異。

: 上述過程與微分方程中，藉由源項δ(x-x')來找出響應 G(x,x') 的方式相同。
: 所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困難，
: 在這裡也都能看到離散的版本。
: 沒學過連續型Green's function, 目前難以做類推QQ

如果要找一個多數人都認識的 Green's function，
那最有名的應該就是庫侖定律了吧。
位於 x' 的點電荷 Q 的電荷密度必須用 Q*δ(x-x') 來描述。
他在空間中所散布的電位場 = kQ/|x-x'|。
而一般電荷分佈造成的電位 = ΣkQ/|x-x'|，把該加的東西加一加即可。
這個電位也可以寫成 ρ＊(k/|x|)，就是同類型的概念。
（ρ是電荷密度，點電荷的電位也用了在無窮遠處消失這個邊界條件。）

: 另外V大這大段的回應, 針對我原問"隨便選一個h來當filter不就相同效果"的結果是yes?
: 也就是說, 今天不管我怎麼選h = a*h1+b*h2+c*h3, 我都可以做y_n = (h＊x)_n
: 其中y_n會滿足差分方程(因此是解)
: 但是這樣又很奇怪, 因為h1,h2,h3有互斥ROC, 一旦做了線性組合, 只要其中兩個係數
: 不是0, 那就不能做z轉換, 因此論及頻率響應就毫無意義, 因為不收斂

嗯，是。但那不是因為「頻率」這個概念的極限所導致的嗎？
我們只是要解個差分方程，在條件允許的時候可以利用 z 轉換這個好用的工具，
但是條件很差的時候就不能用，僅此而已。
就像在做傅立葉轉換的時候，我們其實也頻繁遇到「不能轉換」的各種泛函。
例如 1 不能轉換，但還是硬著頭皮轉成 δ-function。
或許有一些發散的雙向冪級數，也可以就那麼繼續用著，也不急於把級數「算出來」吧。
但我想訊號領域應該不用太在意這種情形。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.6.92 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1662717601.A.CA4.html
※ 編輯: Vulpix (1.160.6.92 臺灣), 09/09/2022 18:16:42
推 znmkhxrw    : 非常謝謝V大詳細的說明! 我再好好貫通一下, 連假回
→ znmkhxrw    : 來有電腦時1000p奉上, 祝中秋快樂~
推 znmkhxrw    : 另外你文章中有一句"因為初始值決定的是A跟B", 我
→ znmkhxrw    : 凌晨有在上篇編輯文章問一個相關的問題, 如果你有你
→ znmkhxrw    : 的解釋方式的話再請你分享一下, 謝謝!
→ bluepal     : 第一篇我只有看一點點 看到說Z transform的inverse
→ bluepal     : 還有和差分方程唯一性的對應關係
→ bluepal     : 可是你敘述差分方程唯一性要有足夠初始條件
→ bluepal     : 這樣才有唯一性那你Ztrnsform在求transfer function
→ bluepal     : 的時候也有考慮初始條件啊 第一項就是初始值
→ bluepal     : 每次做shift的時候跑出的第一項也是一個初始條件
→ bluepal     : 所以N接差分方程的Z transform求出的H(z)一樣有考慮
→ bluepal     : N個初始條件進去了
→ bluepal     : 而且初始值就是轉換後H(z) z approaches infinity
→ bluepal     : 這跟Laplace transform一模一樣 每微分一次轉換都有
→ bluepal     : 包含初始條件在理頭 LIT不是都希望這樣搞?
→ Vulpix      : z轉換沒看到初始條件啦。要單側的才會看到。
→ Vulpix      : 雙側的初始條件會被車過去。
→ bluepal     : 所以考慮雙側的差分方程?
→ Vulpix      : 他現在在意的是雙側的沒錯，更早的文章有單側的。
→ bluepal     : 搞差分方程不是用單側Z轉換嗎?
→ bluepal     : 喔了解 我想說留在最新篇 謝謝V大
推 bluepal     : Sorry z大和V大我現在才看到第一篇推文XDDD
推 bluepal     : 雙向遞迴就可以移來移取你的Operator是LIT平移不變
→ bluepal     : 所以本身給條件經過Z轉換只有描述她的變動啊
→ bluepal     : 實務上算出來如果不要0不是移一下就好了(?)
推 bluepal     : 那個惟一解的定義應該是改成平移後N項惟一吧
推 bluepal     : 不要亂好了XDD晚點在來看一下整篇
※ 編輯: Vulpix (1.160.6.92 臺灣), 09/09/2022 21:15:10
→ bluepal     : 你剛去看信喔?
→ bluepal     : 明天再來看你們在幹嘛 晚上還有得忙QQ
※ 編輯: Vulpix (101.136.143.151 臺灣), 09/12/2022 03:12:34
※ 編輯: Vulpix (101.136.143.151 臺灣), 09/12/2022 03:14:58
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 09/12/2022 05:30:03
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 09/13/2022 22:16:36