→ Vulpix : 說u這個如同特殊函數一樣的表達方式，你覺得哪一個09/09 19:13
:嗨V大, 通解 = 與初始值相關的齊次解線性組合 + 與初始值無關的特解, 然後依照不同
:的邊界條件會得到去掉某些項的結果(去蕪), 這些我沒有問題!
:我的疑問在於最初怎麼"猜到"有這樣的形式可以分解, 尤其是可以分解出後者--與初始值
:無關的特解
:我回文的問題是, 目前我給自己的說法不外乎是這些:
:1. 線性好棒棒 所以可以這樣很正常
:2. 以前數學家很厲害, 剛好發現可以這樣
不小心多刪了一行
我沒有聽過很多數學史也不熟
我'覺得'你心裡的疑惑應該是
怎麼平平在解 ODE DE 還是線性代數
為什麼有分 齊次解 特解就算了
明明初始條件很重要 跟解很有關係 為什麼只有在
解出這個問題的 '解'時 只有在解齊次解的時候用到初始條件
看起來卻跟特解好像毫無相關?
這次莫名其妙的不對稱性
比較基本的線性的題目大都可以寫成 Ax=b
A可以是線性算符或矩陣
那從最簡單的考慮 2x+3y=1
5x+6y=4
我也不想解他 可是他齊次解是 [0,0]^T 特解就是解
所以問題有趣時應該在
2x+3y=1
6x+9y=3
齊次解是1dim'l可以用row space perb 看
特解就不只一個了 可以用colomn space 看
可是真的去解就會直接發現
湊出一個特解來以後想得到令一個特解
最快的方法就是靠 加上齊次解空間裡的東西 可以同樣得到1dim'l的特解
特解的空間不是線性空間 是二維平面上的affine space
用三維的比較好想像
想成一根竹籤一端插在三維座標的原點上面 另一頭頂著一個平面
(想像中當然是有限大小)
(以下討論的座標向量指的是以原點為起點的向量)
如果把那個平面平移到和原點相交 他就是齊次解空間
可是那是Ax=0的解
所以實做上都是求一個特殊的x_p使 A(x_p)=b
x_c為待定的Ax=0 解空間中的齊中一個解
最後由初始條件決定x_c'後
一個IVP Ax=b (with initial conditions)的解為:
x'=x_c'+x_p
同時滿足
Ax'=b 和初始條件
如果在不考慮初始條件的情形下
其實整個解空間(affine space)都是Ax=b的解
也就是說
x可以是那根竹籤
以原點為起點和平面上任何點為終點
形成的座標向量 或 特定函數空間的函數
在先不論 初始條件 下
ODE和有限維線性代數簡單的理論告訴我們這個affine space包含所有的解
因此無論 初始條件是甚麼 答案都逃不出那個平面
所以一個方便的流程其實只是
(1)先隨便找到一個最好找到的特解(某根竹籤座標向量 插到那個平面)
雖然特解一定在這個平面上可是不太有機會第一次就找到
必須移動竹籤的終點 找到滿足初始條件的終點位置
(2)因為齊次解空間用向量來看 跟那個平面其實是相同東西
所以可以從剛才的特解 加上 某個齊次解空間中的解 讓他變成滿足初始條件的解
That's all.
如果問題點是我'覺得'的那個不對稱性
我認為不對成性純粹來自於流程的方便
否則 齊次解空間 (滿足Ax=0和各種初始條件)
和 那個affine space
特解的解空間 (滿足Ax=b和各種初始條件)
兩個都是二維空間in this case
都有無限多個
沒有甚麼理由只能初始條件來直接決定必然的齊次解
x=x_c+x_p
(x_c,x_p) pairs的可能可以有無限多種
即使是用原始的流程也會因為x_p的選擇有相對應無限多種的x_c
先找到某個x_p充其量是先用掉整個IVP的一個條件而已
剩下的條件用在找x_c上
剛看到V大的推文說沒有哪個解比較不平等
這句話更general
把通解想成affine plane {x_p+x_c'| x_c屬於null space of A}
(在Ax=b有無限多解的case)
其實null space of A(或是齊次解)
也只是x_p=0 的一個特例 對應 Ax=b 當b=0的特例
也就是那個竹籤插平面的竹籤(x_p)長度可以伸縮或反向 或沒有長度(x_p=0)
接著再考慮初始條件
看他落在上平面(可以通過原點or not)的哪個位置
如果堅持初始條件是拿來解Null space 那些C1 ,C2 ,C3....
也可以看成直接在解對應初始條件的特解 x= x_p + C1*v1 +C2*v2.......Cn*vn
vi是basis of N(A), 假設dim(N(A))=n
Ci是這個vactor space對應的scalar
i=1, 2...., n
x_p=0時 才剛好是齊次解 一樣對應 Ax=b, b=0時
而且其實 若說考慮一些以前1st或2nd oder ODE
很多非齊次非線性可以解的情形
(separable, integrating factor, Bernoulli, Riccati, Cauchy-Euler
等一堆可以解的特殊ODE cases)
他們的C1 (,C2)也都各自留在各處不同地方 等著初始條件去決定
另個例子
線性ODE可以考慮一次的
y'=3x^2 好了
也可以說以前一眼就可以看出來
他有x^3這解外至少肉眼也可以看出x^3+C(real number)也都是解
也沒有分 解y'=0的通解 在開區間上所有的解是C
找y'=3x^2 任一特解 y_p=x^3+1好了
然後y=x^3+1+C
再考慮初始條件y(0)=2好了
解出C=1
y=(x^3+1)+(1)
y_p y_c
重來再解一次也可以選x^3-1
y_p=x^3-1
y=x^3-1+C
解出C=3
y=(x^3-1)+(3)
y_p y_c
願意的話也可以先決定C
再找特解
k-th order常係數線性ODE也是
只是最後特解是 "'原本版本的特解'尾巴加上e^at的linear combination"
可行性降低許多
這樣應該比較沒有不對稱的感覺了?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.39.221 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1662740451.A.DC4.html
改錯字
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 00:33:25
→ bluepal : 我覺得像這類心裡覺得怪怪的問題 要從頭把對方當 09/10 00:33
→ bluepal : 沒學過的幼兒班開始講 比較知道在幹嘛 其他問題也是 09/10 00:34
→ bluepal : 我看上面問問題和回答問題的常常都是互是鄉沒有get 09/10 00:34
互相
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 00:36:09
→ bluepal : 到對方在問甚麼 和對方在回答甚麼 09/10 00:36
→ bluepal : 像這個我就完全不知道要怎麼用像寫證明一樣回答 09/10 00:37
→ bluepal : 簡單講一句話的話就是 09/10 00:38
→ bluepal : 課本上找解的流程只是x=x_c+x_p其中一種分解非唯一 09/10 00:40
→ bluepal : 其中x_c屬於null space x_p屬於特解的affine space 09/10 00:41
→ bluepal : 如果只講上面兩行又會打泥巴仗吧 09/10 00:41
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 15:57:24
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 21:49:10
推 znmkhxrw : 嗨b大, 你簡述我"覺得"怪怪跟不對稱性的部分完全正 09/10 23:03
→ znmkhxrw : 確, 我就是想嘗試給自己一個說法(加入什麼切入觀點 09/10 23:03
→ znmkhxrw : 後讓不對稱性變成對稱) 09/10 23:03
推 znmkhxrw : 目前看你整個回文大致上是把非齊次項(Ax=b的b 或是 09/10 23:06
→ znmkhxrw : 差分方程的x)看成決定affine space平移的變數來解 09/10 23:06
→ znmkhxrw : 釋為什麼初始值只會影響齊次項的係數, 這個觀點我 09/10 23:06
→ znmkhxrw : 覺得不錯, 我再行思考, 謝謝! 09/10 23:06
→ bluepal : 如果要把Ax=b和常係數差分或微分方程做對比 09/10 23:12
→ bluepal : 把Ax=b用column form 用column vectors的線性組合看 09/10 23:12
→ bluepal : A 無限多解的case 他們會符號上一模一樣 09/10 23:13
→ bluepal : 只是一個是函數一個是向量(或陣列) 09/10 23:13
→ bluepal : 初始條件就會對應 free variables 的值 09/10 23:14
推 znmkhxrw : Ax=b與其他線性方程的對比方式的提供我再思考, 謝 09/10 23:23
→ znmkhxrw : 謝! 09/10 23:23