Re: [分析] 雙向遞迴數列的推導問題

[Vulpix (Sebastian)]

這篇回應關於 pseudo inverse 的想法。

還是用這個舉例
: y_n - y_{n-1} = x_n

: y_n = y_{-∞} + (u＊x)_n
: 或
: y_n = y_{∞} + [(u-1)＊x]_n

: 在 y_{-∞} 存在的情況下，u 可以是脈波響應。

 1   0   0   0   0
-1   1   0   0   0
 0  -1   1   0   0
 0   0  -1   1   0
 0   0   0  -1   1

以上矩陣是差分算子的矩陣表示，然後我砍掉（truncate）了一些東西。
其偽反矩陣：

1   0   0   0   0
1   1   0   0   0
1   1   1   0   0
1   1   1   1   0
1   1   1   1   1

這個矩陣與 u＊ 的作用相似。

: 而在 y_{∞} 存在的情況下則換成可以拿 u-1 當作脈波響應。

-1   1   0   0
 0  -1   1   0
 0   0  -1   1
 0   0   0  -1

以上矩陣也是差分算子的矩陣表示，然後我又砍了一些東西。
其偽反矩陣：

-1  -1  -1  -1
 0  -1  -1  -1
 0   0  -1  -1
 0   0   0  -1

這次矩陣跟 (u-1)＊ 長得比較像了。

: 兩個脈波響應只差了 1（此為齊次解），都同樣能有作用，
: 即使 u＊x 與 (u-1)＊x 算出來不一樣，但只要存在，他們就的確都是特解。
: 是相應於不同邊界條件的特解。
: 而此時會受到初始條件影響的東西，是 y_{-∞} 和 y_{∞}。
: 也就是說，不同初始條件與特解（那個捲積）的計算過程無涉，
: 但是會改變齊次項。

砍矩陣的時候下刀的方式不同，其實就是在考慮不同的邊界條件。
第一個差分矩陣左上角是 1，代表在擴大矩陣的時候，y_n 最前面的那項要一直能算。
第二個差分矩陣右下角是 -1，代表最後項要一直存在。
這與我們的邊界條件概念上是相符的。

其實還有其他下刀的方式，出來的偽反矩陣我還沒想到解釋，就放生了。

至於一般的線性算子要怎麼算偽反矩陣我沒去研究，最近沒空。
但是數列到數列、函數到函數的這種，一定要考慮邊界行為。
跟提問「iD 是 Hermitian 算子嗎？」一樣要考慮邊界。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1663081163.A.9A2.html
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 09/13/2022 23:32:14
→ Vulpix      : 總之我認為「偽解與捲積是一致的」這個猜想應該沒
→ Vulpix      : 問題，只是前置條件要寫好。
→ Vulpix      : 如果是在這個情況下，偽解的確是很特別的特解。但
→ Vulpix      : 是「這個情況」其實是指著邊界條件在說的，此時特
→ Vulpix      : 解就是唯一解，「特別」也就理直氣壯了。
推 znmkhxrw    : 謝謝V大觀點, 這樣也是一個把線性方程與差分方程拉
→ znmkhxrw    : 在一起的一種方式了~
推 znmkhxrw    : 分享一下我前幾天卡住的觀點XD 我把線性方程Ax=b的
→ znmkhxrw    : 那一個特別的特解定義成"Ax=b中的x與{Ax=0}垂直的x"
→ znmkhxrw    : , 自然就獲得x是唯一解並且x=A^+b, 但是這個觀點需
→ znmkhxrw    : 要內積空間, 這個限制在實或是複矩陣自然成立, 但是
→ znmkhxrw    : 在實或是複差分方程我就不知道怎麼定義內積了...兩
→ znmkhxrw    : 個解y1_n與y2_n的內積是...XD 放棄, 這個觀點可以
→ znmkhxrw    : 給Ax=b那個特別的特解很好的刻劃, 可是無法延伸到差
→ znmkhxrw    : 分方程QQ
→ Vulpix      : 一個簡單的內積定義就是逐項積的和啊。不能算內積
→ Vulpix      : 的數列就先排除掉，之後再說。
推 znmkhxrw    : 了解~
※ 編輯: Vulpix (163.13.18.218 臺灣), 09/14/2022 13:20:44
→ Vulpix      : 回頭一看，我選的都是方陣，還可逆XD
推 znmkhxrw    : 所以解空間變成唯一解XD
其他看起來比較合理的下刀方式：

 -1  1  0  0  0
  0 -1  1  0  0
  0  0 -1  1  0
  0  0  0 -1  1

偽反矩陣：

 -0.8  -0.6  -0.4  -0.2
  0.2  -0.6  -0.4  -0.2
  0.2   0.4  -0.4  -0.2
  0.2   0.4   0.6  -0.2
  0.2   0.4   0.6   0.8

這個應該下不同的條件就可以讓他看起來收斂到適當的 u+c 上吧。

→ recorriendo : Least-norm solution
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 10/05/2022 02:45:37