推 luppy1018 : 謝謝L大的詳解，非常清楚!! 09/15 17:02
推 cornerstone : 解釋好清楚好詳細喔！雖然還沒有完全融會貫通，但 09/15 20:27
→ cornerstone : 學到了解題的思路，真的好厲害！ 09/15 20:27
推 nutta : 推說明! 09/26 12:52
※ 引述《luppy1018 (盧屁)》之銘言：
: Q:已知英文指考克漏字大題，單字庫有12個選項，總共10題填空，答案不重複，則隨機從
: 單字庫挑10個單字亂填進10格填空，全部寫錯的機率是多少？
: 推 LPH66 : 給兩個地雷他們的位置，然後考慮他們有沒有選到 09/14 07:38
: → LPH66 : 各自的位置，選法數是 (D12+2*D11+D10)/2 09/14 07:38
: → LPH66 : (Dn 是 n 物錯排數) 機率就它除以 C(12,10) 09/14 07:39
: → LPH66 : 寫成 (D12+2*D11+D10)/12! 再套估計變成 09/14 07:42
: → LPH66 : (1/1+2/12+1/132)(1/e) ~ 43.2% 09/14 07:42
: 推 LPH66 : 啊，上三樓寫錯了，除以 P(12,10) 才對 09/14 07:45
: → LPH66 : 算的一直都是排列不能除以組合，後面 43.2% 是對的 09/14 07:46
: 謝謝L大，不過不太懂是怎麼推得(D12+2*D11+D10)/2 ，可以解釋一下他的實質意義嗎
給地雷選項他們的位置之後, 現在有 12 個空格, 每個選項都有自己的位置
但我們只要前 10 格都答錯就好, 後兩格答對答錯都行
那麼這兩格的答題情形一共有:
* 兩格都答錯: 這樣就是普通的 12 格錯排, 共 D12 種
* 一格對一格錯: 哪一格對有 C(2,1) = 2 種
這狀況裡有 11 格是答錯的, 選法數是 D11 種, 所以共 2*D11 選法
* 兩格都對: 這兩格都被地雷填了, 剩下的 10 格是最一開始的 D10 種錯排法
總計 D12 + 2*D11 + D10
這是有 12 格的排列數, 原題只看 10 格, 後兩格不管, 因此要再除以 2! = 2
(或者這樣說: 每兩個 12 格的排列都對應原題一個 10 格的排列, 差在後兩個誰在哪)
因此原題的選法數即是 (D12 + 2*D11 + D10)/2 種
(要推廣到其他數量的話這式子可以寫成
(C(2,0)*D(12-0) + C(2,1)*D(12-1) + C(2,2)*D(12-2)) / 2!
但真推廣下去會得到廣義超幾何函數 1F1, 那就是另一個領域了, 這裡就表過不提)
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順帶也解釋一下後半的機率好了
我推文說的是 (D12 + 2*D11 + D10)/2 除以 P(12,10)
就是單純看 10 格的狀況去除: 分子是剛剛算的選法數
分母是 12 選項依序選 10 個填入空格的選法數
但其實看 12 格的狀況也是可以的
這就會變成 (D12 + 2*D11 + D10) 除以 12!, 兩者是一樣的
(前者分子分母各有一個 2 消掉了: P(12,10) = 12!/(12-10)! = 12!/2!)
那錯排機率的近似是 Dn/n! ~ 1/e
(事實上對 n >= 1 都有 Dn 的值等於 n!/e 四捨五入到整數, 所以這近似頗準)
把上面的式子展開再應用近似就得到
(D12 + 2*D11 + D10) / 12!
= D12/12! + 2*D11/12! + D10/12!
= (D12/12!) + 2*(D11/11!)/12 + (D10/10!)/(11*12)
~ (1/e) + (2/12)*(1/e) + (1/132)*(1/e)
= (1 + 2/12 + 1/132)(1/e) = (155/132)*(1/e) ~ 43.2%
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'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308
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