[線代] 矩陣特徵值

[RicciCurvatu (黎奇曲率5566)]

一個3×3矩陣A, entries 取值在[0,1]
各行3數相加都等於1 （stochastic matrix）
若對角線都是各列最大值(嚴格大於
試證此矩陣特徵值皆為非零正數

另外 對於所有非零向量v 皆滿足v^ T A v ＞0

-------
A是對稱還蠻好證 非對稱的情況沒想到什麼好的證法 請教一下板上大神幫忙


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 96.32.140.182 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1663314342.A.D51.html
推 arrenwu     : 你提到這是個stochastic matrix，domain 有對應的
→ arrenwu     : 限制嗎？
→ RicciCurvatu: 有欸 v=(v1,v2,v3） 最後的argument 我只考慮v1+v2+
→ RicciCurvatu: v3=0
→ RicciCurvatu: 第一個argument 我先證了trace 跟det都大於零 因為s
→ RicciCurvatu: tochastic matrix 有一個trivial eigenvalue 1所以
→ RicciCurvatu: 特徵值都大於零 第二個比較難 要估計特徵向量夾角
→ RicciCurvatu: 沒什麼頭緒
推 arrenwu     : 確認一下，你的意思是 v 的限制只有在 R^3?
→ RicciCurvatu: 是的
推 arrenwu     : 你這個題目有來源嗎？
→ arrenwu     : 比如是來自什麼其他問題之類的？
推 maoc        : Check “Gershgorin discs”
→ RicciCurvatu: 來源是我自己 處理特徵值問題發現的 四維以上有反例
→ RicciCurvatu:  應該還是要從三維的特性考慮
推 walkwall    : 那有沒有可能三維也有反例?
推 Vulpix      : 我證不出判別式恆正。
推 Vulpix      : 矩陣三行依序為.5,.25,.25、.25,.375,.375、.375,.
→ Vulpix      : 125,.5
→ Vulpix      : 這樣的eigenvalue會有兩個虛的。
→ RicciCurvatu: v 大 條件是行相加等於一不是列相加喔 列是該行最大
→ RicciCurvatu: 是對角線沒錯
推 Vulpix      : 你可能看錯我寫的了，但沒關係，轉置就好。
→ Vulpix      : 或者 0.9I+0.1P，其中 P 是輪換矩陣，本徵值也會有
→ Vulpix      : 虛數。
推 Vulpix      : 或者0.7I+0.2P+0.1P^2。