推 LimSinE : 1.若S僅為子向量空間，一定存在，但未必能具體寫出 10/02 18:15
推 LimSinE : 找V/W之基底，再找其在V中一個前項代表生成即得S 10/02 18:21
→ LimSinE : 較有意思的問題給定V之拓樸時W是不是閉子空間？ 10/02 18:23
欸!!Lim大, 如果對於任何向量空間V, 任給子空間W, 照你的造法必存在子間S
使得 V = W⊕S 的話, 那第二個問題就快速地得到反例了:
隨便給一個沒有緊緻支撐的數列h
造 T(x):= h＊x_w + x_s, where x = x_w + x_s, x_w€W, x_s€S
則容易檢驗T是LTI
另外針對你的第三句話, 我後續的需求是不能對V假設Norm space, Hilbert space, l^p
原因的話有點複雜, 跟我之前跟板友們討論一堆"雙向遞迴關係式"有關
簡單說就是我想要避開Z轉換然後用純粹的V跟嚴謹的線代性質去找出所有的解
推 Vulpix : 2. h不是不唯一嗎？還是只要唯一到某個程度就好？ 10/02 18:27
嗨V大, 不唯一嗎!? 若T滿足上原條件, h只能是T(δ)不是嗎?
推 Vulpix : 喔，沒事，看反了。 10/02 18:32
→ Vulpix : 我以為還是之前的L(y)=x，然後在解y。 10/02 18:35
還是這個問題沒錯唷! 後續我就是要用純粹的V跟T去建構跟解釋:
(1) 為什麼特解可以"去蕪存菁"寫成h＊x
(之前提說可以用垂直去定義"去蕪", 但是這內積定義牽扯到無窮乘加
也就是說不可能光用這個定義就讓<V,F>是內積空間, 會有很多不well-defined
如果真要用, 就要限縮V的範圍, 比如討論<W,F>, 這是我不樂見的)
(2) 線代給出的結果跟工程上Z轉換給出的結果怎麼對應
(之前V大說這些h各自對應一些"邊界條件")
而上述問題在 Ax = b 我已經得到很好的結果, 並且不用內積:
對於任何b€R(A), 任給一個f:R(A)→F^n with f(x)€{x€F^n│Ax=b}
我們都有 {x€F^n│Ax=b} = N(A) + f(b), 其中f = A^-1 on R(f)
而且更有 F^n = N(A)⊕R(f), 即直和就解釋了R(f)不參雜N(A)
也就是說, 任給一個特解的選擇函數f, f可以證得是線性的
而且只要固定R(f), 那這個函數就存在唯一
我現在的後續就是把上面這套移到{y€V│T(y) = x}, 其中T(y):=a＊y,
其中 a_n:= 1 , n=0
a_n, n=1~N
0 , else
但是變成要處理很多無窮維的問題以及反函數不一定有time-invariant
所以要特別小心跟證明很多細節
我預期想得到 {y€V│T(y)=x} = N(T) + f(x) 會有 f(x) = h＊x for all x€W
推 LimSinE : 更正：前項→前像(preimage) 10/02 19:13
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/02/2022 21:11:51