→ cmrafsts : 不是直接兩個根號分開減去n計算嗎？ 10/13 03:52
是啊。不過算法本來就百百種，都能到羅馬就是了。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 10/13/2022 04:20:48
※ 引述《SC333 (SC)》之銘言：
: 在其他版看到一題極限的問題想請教
: lim [(n^2 + 2n -1)^1/2 - (n^3 +2n^2 -1)^1/3)]
: n→∞
: 看到有人提出的想法是
: 將 (n^2 + 2n -1)^1/2 配成 [(n + 1)^2 -2]^1/2
: (n^3 +2n^2 -1)^1/3) 配成 [(n+2/3)^3 - 4n/3 -35/27]^1/3
: 然後分別 提出 (n + 1) 以及 (n + 2/3) 剩下根號內的數都會趨近於1
: 所以兩個相減 就是 1/3
: 看似很合理
: 可是照這個邏輯
: 在原式直接個別提出 n 然後兩個根號內的數也會趨近於1 n - n 就變成0了
: 甚至 原式根號內想配成 任意的平方項及立方項後提出也可以
: 這樣答案就有很多種不同的可能
: 想問 這種想法有沒有什麼依據或是限制條件呢?
沒有什麼限制。
其實這個做法是可以發展下去的，你只是不知道該怎麼繼續算而已。
(n^2 + 2n -1)^(1/2) - (n^3 +2n^2 -1)^(1/3)
= n*(1+2/n-1/n^2)^0.5 - n*(1+2/n-1/n^3)^(1/3)
= n*(1 + 1/n-0.5/n^2 + ...) - n*(1 + 2/3n-1/3n^3 + ...)
= n-n +1-2/3 -0.5/n+1/3n^2 + ... → 1/3 as n→∞
中間用的是泰勒展開，或者在這裡也可以叫他二項式定理。
但是要保證這個計算是對的，這件事會比較不好說清楚。
至少對高中課綱內會不好談。
: 這一題如果用高中有理化的作法該怎麼做比較好呢?
: 謝謝
[(n^2 + 2n -1)^(1/2) -n] - [(n^3 +2n^2 -1)^(1/3) -n]
然後各自用平方差公式和立方差公式處理。
或者 [ (n^2 + 2n -1)^3 ]^(1/6) - [ (n^3 +2n^2 -1)^2 ]^(1/6)
看成兩個六次式的六次方根之間的差，
然後用六次方差公式（a^6-b^6 = (a-b)*(a^5 + a^4*b + ... + b^5)）處理。
這都是高中最常用的有理化招式的連攜技。
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