[線代] 一題證明優化(Solved)

[znmkhxrw (QQ)]

請問一下我對於自己證明下面的性質感覺有點繞路:
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令 V為佈於F的內積空間, F = R or C
   v,w€V為兩向量

若 |<v,x>| = |<w,x>| for any x€V                           ---(a)

則 v = c*w, for some c€F with |c| = 1

pf: 取 x=v 得到 |v|^2 = |<v,w>|                             ---(b)
    取 x=w 得到 |w|^2 = |<v,w>|
    (b)兩式得到 |v|=|w|                                     ---(c)
    結合(b)與(c)得到|<v,w>|=|v||w|, 因此柯西不等式得到v=c*w ---(d)
    最後由(c)與(d)得到|c|=1(若v或w=0, 那c是任意數因此也取1) ---(e)
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也就是說, 證明順序是: (Step 1) (a)              => (b)
                      (Step 2) (b)              => (c)
                      (Step 3) (b)∩(c)∩Cauchy => (d)
                      (Step 4) (d)∩(c)         => (e)

我總覺得這個順序有點繞繞的...感覺可以優化

當然我知道不少定理的證明也是由原條件先去推出某性質

再把這個推出來的性質代回原條件(取交集)然後繼續推演下去

但是這個證明繞的程度經驗上給我一種可以優化的感覺...

謝謝幫忙~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1665610046.A.942.html
推 LimSinE     : 2個V->F之線性函數，若kernel同則差常數倍
欸!! 對耶...我突然聯想到之前跟朋友討論過的XDD
令T(x):=<x,v>, U(x):=<x,w>
則條件推得 span{v}^⊥ = span{w}^⊥
因此 span{v} = span{w}, 得證

而這個跟L大你說的應該一樣, 因為N(T) = span{v}^⊥, N(U) = span{w}^⊥
謝謝提供~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/14/2022 02:25:05
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/14/2022 02:45:31
→ alan23273850: 一樓的定理炸漢堡好像沒收錄成習題 這個事實好帥～
推 alan23273850: 補推