Re: 請教一個證明

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: a,b,c為正實數， 0<x<1
: 且c  >=  a >= b
: 若c^x = a^x  +  b^x
: 證 c > a+b
: 我是以 （a^x +b^x)^(1/x) 為遞減函數去證明
: 但是有點麻煩
: 就要請教不知道還有沒有其他更好的方法

首先

c > a + b <==> c^x > (a+b)^x

          <==> a^x + b^x > (a+b)^x

          <==> (a/(a+b))^x + (b/(a+b))^x > 1


再來

在閉區間 [0,1] 我們定義一個函數 f(t) = t^x + (1-t)^x

他的導函數 f'(t) = x/t^(1-x)/(1-t)^(1-x)*[ (1-t)^(1-x)-(t)^(1-x) ]

因為 0 < x < 1，

我們可以得到 f'(t) > 0 in [0,1/2) and f'(t) > 0 in (1/2,1]

也就是說 f(t) 在 [0,1/2) 這段是嚴格遞增，而在 (1/2,1] 這段則嚴格遞減

所以，f(t) 在 t= 0 和 t=1 的時候達到最小值 1

最後

考慮 v = a/(a+b)，很明顯v值大於0且小於1

故 f(v) > 1，這樣我們就有

f(a/(a+b)) > 1  <==> (a/(a+b))^x + (b/(a+b))^x > 1   Q.E.D.


這樣有比較不麻煩一點嗎？

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與角卷綿芽去KTV唱歌
https://i.imgur.com/VFmibkg.jpg
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原圖出處：https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428

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※ 編輯: arrenwu (165.225.243.22 美國), 10/14/2022 16:21:48
推 harry921129 : 謝謝您，想請問這個式子
→ harry921129 : a^x + b^x > (a+b)^x 怎證明
推 harry921129 : 啊～～抱歉，犯傻了。上面當我沒問. 謝謝版友回應
推 MEDChang    : 謝謝