※ 引述《SC333 (SC)》之銘言：
: 在其他版看到一題極限的問題想請教
: lim [(n^2 + 2n -1)^1/2 - (n^3 +2n^2 -1)^1/3)]
: n→∞
: 看到有人提出的想法是
: 將 (n^2 + 2n -1)^1/2 配成 [(n + 1)^2 -2]^1/2
: (n^3 +2n^2 -1)^1/3) 配成 [(n+2/3)^3 - 4n/3 -35/27]^1/3
: 然後分別 提出 (n + 1) 以及 (n + 2/3) 剩下根號內的數都會趨近於1
: 所以兩個相減 就是 1/3
這裡的做法是先算出來得到
lim [(n+1) - (n+2/3)]
n->inf
他的處理很明確是用泰勒的一次近似下去看
n-n沒有問題，因為這裡的n沒有經過任何近似
: 看似很合理
: 可是照這個邏輯
: 在原式直接個別提出 n 然後兩個根號內的數也會趨近於1 n - n 就變成0了
這裡你會出現的是
lim [n*sqrt(1+2/n-1/n^2)-n*cbrt(1+2/n-1/n^3)]
n->inf
然後下一步
lim n[sqrt(1+2/n-1/n^2)-cbrt(1+2/n-1/n^3)]
n->inf
你認為形成
lim n[1'-1"]的形式，然後你直接展開覺得是n-n
問題是這裡很明顯的兩個1是不同的(因為兩個1都是經過不同的近似)
你要處理這個形式實際上是一個inf*0的狀況，這種不定型通常應該要用羅畢達吧~"~
: 甚至 原式根號內想配成 任意的平方項及立方項後提出也可以
: 這樣答案就有很多種不同的可能
: 想問 這種想法有沒有什麼依據或是限制條件呢?
: 這一題如果用高中有理化的作法該怎麼做比較好呢?
: 謝謝
避免展開出現不定型
inf/inf
0/0
inf*0都算是
(因為出現了就要討論很多條件，再來決定是否能求解)
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