[機統] 高三下機統的問題

[cornerstone (cornerstone)]

題目說：教練為了獎勵球員，投進一球就給10元。
某個籃球員的投球的命中率是85％，他投了9球，
求他可以拿到多少錢的期望值和變異數？

我一開始的想法是用最基本的想法：期望值＝報酬＊機率
設隨機變數X是進球的數量
所以列表從0球開始加到9球都進，大概是：

0球進時：0元* (0.85)
1球進時：10元*(0.85) = 8.5
2球進時：20元＊(0.85)^2= 14.45
3球進時：30元＊(0.85)^3=
4球進時：40元＊(0.85)^4=
...........
9球進時：90元＊(0.85)^9=

期望值就等於全部加起來，假設為E(X) = S.

變異數也是: 從Var(X) = 平方的期望值-期望值的平方

0球進時：0元* (0.85)
1球進時：(10)^2元*(0.85) = 8.5
2球進時：(20)^2元＊(0.85)^2= 14.45
3球進時：(30)^2元＊(0.85)^3=
4球進時：(40)^2元＊(0.85)^4=
...........
9球進時：(90)^2元＊(0.85)^9=

變異數就等於全部加起來再減掉S^2

但覺得這樣的算法好像太土法煉鋼，
應該有比較好的算法…

所以想到用二項式的公式，但又因為有給10元這部分，
我就不太知道我的想法是否正確？
E = np
V=np(1-p)
所以E = 9＊0.85＝7.65
這代表九球平均會進7.65球
如果每一球給10元，那就等於10*7.65＝76.5元

請問這樣的想法是對的嗎？
用二項式的公式時，是不是就沒有隨機變數了？

另外，套用變異數的公式是：
V=np(1-p)＝9*0.85*0.15＝9*0.85*0.15＝1.1475
這時變異數也可以直接乘以10嗎等於11.475？

謝謝！

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推 LPH66       : 你這裡有兩個稍微不太一樣但相關的隨機變數在
→ LPH66       : 一個是進球數，另一個是錢數；由題設後者是前者10倍
→ LPH66       : 而前者可以由你提的二項式公式求得
→ LPH66       : 後者的所求就能由平均值和變異數的性質求得
→ LPH66       : (變異數不是乘以10喔，去查變異數的性質)
→ cornerstone : 謝謝您！用兩個隨機變數的概念很幫助我!E(Y)=E(10X)
→ cornerstone : 可以直接變成10*np，但變異數提出來要變平方，所以
→ cornerstone : 不是x10，而是x100，這樣對嗎？謝謝您！
推 xxxl1       : 期望值等於0.85*10*9
→ xxxl1       : 變異數等於(0.85*10^2-(0.85*10)^2)*9
→ cornerstone : 謝謝樓上的回覆！請問期望值和變異數都可以直接*9
→ cornerstone : 是跟線性關係有關嗎？謝謝！
推 tt7775321   : 9次都相互獨立
推 goshfju     : Var(X1+…+X9)=Var(X1)+…+Var(X9)=9Var(Xi)
→ goshfju     : 獨立的關係不會有共變異數
→ cornerstone : 原來是因為獨立可以直接乘，謝謝每一位的解答和留言
→ yhliu       : X~bin(9,0.85), Y=10*X, E(Y)=10*9*0.85
→ yhliu       : Var(Y)=10^2*Var(X)=100*9*0.85*0.15
→ cornerstone : 謝謝yhliu大列出式子，很清楚！真的感謝大家的幫忙