→ hwanger : 那你自己加油吧 呵 11/18 20:17
請問一下關於數列空間 l^p, 有推薦的原文書或是參考資料嗎?
上網查l^p時幾乎都是L^p的訊息(雖然都說l^p跟L^p的性質很類似...)
而實變Zygmund對於l^p也只是幾頁說明而已, 都著重在L^p
還是泛函分析的書同時會著墨於l^p與L^p?
會想要知道l^p的資訊是因為我想要理清下面這些問題
有些是9成覺得對的, 有些是不確定的:
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令x€l^1
令T_x:l^2→l^2 defined by T_x(h) := x＊h, ＊是摺積
(well-defined by l^1＊l^2 仍是 l^2)
已知: (1) l^2 是 Hilbert space, 內積定義為點乘
(2) T_x是有界線性變換
(3) T_x會有adjoint (T_x)^*(h) = z＊h, where z_n = (x_(-n))^conjugate
問題:
(1) Range of T_x(後稱R(T_x)) 是closed嗎? 若否有什麼x的等價條件?
(2) T_x是1-1嗎? 若否有什麼x的等價條件?
(T_x 1-1 <=> T_x(h) = 0, 之後我也寫不出什麼好check的條件...)
(3) 假設R(T_x)是closed, 則依據投影定理
任給y€l^2, 都存在唯一的a€R(T_x)使得 distance(R(T_x), y) = |a-y|
接著由垂直與adjoint可以得到 (T_x)^*a = (T_x)^*y
而進一步假設T_x是1-1的話, 可以得到唯一的H€l^2使得T_x(H) = a
因此就得到 H = ((T_x)^*。T_x)^-1。(T_x)^*(y)
(即跟矩陣的結果 x = (A^*A)^-1 A^* y 是一樣的)
接著想知道((T_x)^*。T_x)^-1。(T_x)^*有沒有什麼進一步的性質
因為T_x跟(T_x)^*都可以寫成摺積, 所以覺得他應該會有好性質
(4) 對任意正整數L>=1
考慮l^2的中的L維子空間 W_L := {h_n│h_n = 0 for n != 0~L-1} (後稱W)
定義 U:W→l^2 by U(h) := T_x(h), 即U是T限制在W上的函數
想知道類似於(4)的最短距離問題:
假設R(U)是closed(這好像不用假設, 因為R(U)有限維必closed)
任給y€l^2, 再一次藉由T_x的adjoint與垂直, 化簡出存在唯一的b€R(U)使
<h, (T_x)^*(b-y)> = 0 for any h€W
但是這時不能說(T_x)^*(b-y) = 0 了, 因為內積=0只有any h€W, 並非l^2
接下來問題是, 一樣假設U是1-1後, 確實存在唯一w€W
使得 distance(R(U), y) = |T(w)-y|
但是w有簡潔的公式嗎?
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以上這些猜測跟問題直覺上應該是某個主題都會依序介紹的基本性質與證明
而跟l^p空間有關的就是實變跟泛函, 我沒修過泛函不清楚他有沒有講解這塊
我會想知道這些主要是想要讓問題-(3)(4)有嚴格的敘述與漂亮的化簡
起初自己在try時, 光是要讓T_x有adjoint就猜測x€W_L or l^1 or l^2 ....
然後想起 l^1＊l^2 仍是 l^2 這個性質於是就設定x€l^1
直覺上我還是覺得這些問題跟假設應該是某本書的某一章節會照
Definition, Property, Lemma, Theorem...
這樣陳述下來, 不需要我去做猜測...
再請板友幫忙推薦書籍/參考資料
如果答案簡潔的話, 方便直接回覆也可以, 謝謝~
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嗨h大~謝謝您的回覆, 我再從您建議的書籍出發以及佐證你列出的那些性質
※ 編輯: znmkhxrw (114.25.75.202 臺灣), 11/18/2022 16:46:19