推 cornerstone : 真的真的非常謝謝您把這個概念解釋的很清楚！ 11/07 13:44
推 cornerstone : 我對於隨機變數其實是函數的定義和了解可能不夠透徹 11/07 13:48
→ cornerstone : 所以還需要好好思考理解，真的非常謝謝您！ 11/07 13:49
※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《cornerstone (cornerstone)》之銘言：
: : 在看機率中關於隨機變數獨立的部分看到：
: : 若隨機變數A和B獨立，他們的平方也會相互獨立
: : 我突然很好奇為什麼能直接這樣說呢？
: 獨立隨機變數
: 獨立變數 X,Y 對於任意兩集合 A,B，都成立
: P( X in A Λ Y in B) = P( X in A ) P( Y in B)
: 你的問題其實是在問，如果 X,Y 獨立，我們要怎麼說明
: 對於任意兩函數f,g和任意兩事件 C,D 都會成立
: P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P( f(X) in C ) P( g(Y) in D )？
: [你的案例就是 f(x) = g(x) = x^2]
: 綠色那行獨立性質好懂、很直覺，
: 黃色那行則看起來也非常直覺，但直接說是對的好像怪怪的(?
其實如果弄清楚隨機變數及隨機變數間相互獨立的意思就不難懂了。
兩事件獨立很簡單，定義就是交集的機率等於個別機率相乘：
P(AB) = P(A)P(B)
兩隨機變數 X, Y 相互獨立是說：
任意關於 X 的事件與任意關於 Y 的事件都相互奪立。
(實數值)隨機變數定義上是一個函數，是從樣本空間到實數線的一個函數，
用稍為嚴謹一點的講法是可測函數， "可測" 只是為了數學上避免發生一些
困難所做的限制。
關於 X 的事件，就是 [X in C] 之類的事件，C 在這裡也有可測的要求。
對一個機率空間 (S,Ｗ,P), 其中 S 是樣本空間；Ｗ是所有事件的集合，
或說是可測集的集合；P 是機率函數，就是對Ｗ中每一個事件（Ｗ的元素,
S 的子集）指定一個機率值並符合機率三公設的一個函數。隨機變數把 S
的每個元素映射到數線上一點，也把Ｗ中每一事件映成數線上一個子集，
但我們不關心 {C; 存在 A in Ｗ, 使 X(A) = C}；而是先在實數線上定義
了什麼是實數線上的可測子集，我們關心的是
對任意實數線上的可測集 C,
[X in C] = {s in S; X(s) in C}
必須在Ｗ中.
這就是前面說隨機變數是可測函數的意義。
所以在機率空間 (S,Ｗ,P) 中，Ｗ含有此空間最多的事件，隨機變數 X 定
義的事件族，也就是關於 X 的事件族只是Ｗ的一個子事件族。若 f 是實數
線到實數線的一個可測函數，Ｕ = f。X = f(X) 將是 S 到實數線的一個隨
機變數，而關於 Ｕ 的事件也必是關於 X 的事件。
所以若 X, Y 是相互獨立的隨機變數，意指：
關於 X 的每一事件，分別與關於 Y 的每一事件是獨立的。
那麼，U=f(X), V=g(Y) 這兩個隨機變數定義的事件，分別只是 X, Y 所定義
事件的一部分，當然是相互獨立的。就比如說：
事件族 {A,B,C,D} 和事件族 {E,F,G} 分別各取一個都是相互獨立；
那麼，
事件族 {A,C,D} 和事件族 {E,F} 分別各取一個也都是相互獨立。
以上結果推及多組，多個隨機變數之間的相互獨立也是同樣道理：
如果隨機向量 X=(X1,...,Xm), Y=(Y1,...,Yn), Z=(Z1,...,Zp)
相互獨立，新隨機向量 U=f(X), V=g(Y), W=h(Z) 也會相互獨立。
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