[分析] 實函數傅立葉轉換的位移問題

[znmkhxrw (QQ)]

 
想請問一個"頻率位移"的問題, 已轉換成下列數學式
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令x(t):R→R為一實函數
  F{x}(f):=∫_{t€R} x(t)*exp(-2πi*f*t) dt 為x(t)的傅立葉轉換
  d€R為一實數
 
想求實函數y(t):R→R
使得 |F{y}(f)| = |F{x}(f+d)| for all f€R
 
(傅立葉轉換的嚴謹性在這裡先忽略)
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以訊號處理的語言的話, 就是找到把x的頻率位移d的訊號y 
 
最初這個問題是: 求函數y(t):R→C 使得F{y}(f) = F{x}(f+d) for all f€R
 
而根據傅立葉轉換與摺積的交互性質, 可以得到 y(t) = x(t)*exp(-2πi*d*t) 
 
但是無奈這樣的y值會是複數域, 我不想要這件是發生
 
因此我才退而求其次, 不要求y的傅立葉轉換就剛好是x的傅立葉轉換的位移
 
只要求其絕對值相同就好, 因此才有最一開始的數學問題 
 
 
如果有解的話再請板友解惑
 
如果無解的話也請提供一下證明的方向
 
謝謝幫忙~
 
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推 wohtp       : x real  iff  F{x}(f) = F{X}(-f)*
→ wohtp       : 直接平移f不可能得到實函數。
→ wohtp       : 喔你只要求絕對值。
推 wohtp       : 但還是一樣啊，你平移以後|F|不一定還是偶函數，一
→ wohtp       : 般來說湊不出實解
 
這樣聽起來是很特殊的x才有可能有這性質, 一般的無法
我再寫寫看具體條件好了, 謝謝w大回答~
 
Update：已證出如果存在滿足條件的實函數y, 則x是零函數

→ wohtp       : Dirac delta function這個解你收不收？
 
是用delta function造非零函數的例子嗎?

確實我上面update說存在這樣y則x是零函數 是基於x條件好到L^1
就能用Riemann-LebesgueLemma證出x是零函數

w大的意思是用distribution來看的話, 存在符合敘述的例子囉?

→ wohtp       : 不不，我說Dirac delta是你的唯一解
→ wohtp       : 如果你肯考慮這種不是函數的函數啦
→ wohtp       : 首先 |F{x}(f)| 必須是常數函數，不然平移以後湊不
→ wohtp       : 出實解
→ wohtp       : 所以 F{x}(f) = exp(i w(f))
→ wohtp       : 這鬼東西反FT回去...呃好像不一定是Dirac delta
→ wohtp       : 反正是generalized function沒錯，看你怎麼湊收斂
→ wohtp       : 取 w 為零的話就是Dirac delta
了解~確實非函數的函數才有機會

因為我證明的過程利用到(1) Riemann Lebesgue Lemma
                  以及(2) 有兩個不同對稱點的函數必為週期函數

而我對廣義函數跟分布理論沒有涉獵, 不過光是δ的(1)就不成立了
(或許廣義函數有其相應的R-L Lemma)

謝謝w大~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 12/02/2022 21:03:29