推 alan23273850: 找極限值不是應該假設 b(n) = b(n-1) 嗎？還是我又 12/22 20:39
→ alan23273850: 錯過了什麼呢？ 12/22 20:39
※ 引述《wu1212121212 (好小吳\(⊙▽⊙)/ )》之銘言：
: n+1
: 已知 b_1 = 2 且 b_n = 1 + ----- b_(n-1)，求 b_n 的極限值
: 2n
: 初步想法是想把一般式找出來，但我求不出來XD
: 後來又想證明他遞減且有下界，但不曉得如何解釋(腦袋卡住XD)
: 還請版上高手指教，謝謝
先證 若存在 k 使得 b_k > (2k+2)/k
則 b_n > (2n+2)/n ,for n ≧ k
pf: 若 b_k > (2k+2)/k
則 b_(k+1) = 1 + ((k+2)/(2k+2)) b_k > 1+((k+2)/(2k+2))(2k+2)/k
= (2k+2)/k > (2(k+1)+2)/(k+1)
所以 for n>k, b_(n+1) - b_n = 1+((n+2)/(2n+2)) b_n - b_n
= (-n/(2n+2)) b_n + 1 < (-n/(2n+2))(2n+2)/n + 1 = 0 遞減
又 b_5 = 8/3 > 12/5 , 所以此數列終究嚴格遞減且有下界
故存在極限 2
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