Re: [微積] 台大研考古-微積分D

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《Selncelow (lighthouse)》之銘言：
: 各位好，最近在練臺大的題目，請問3-2我看不懂他是如何推導出來的，猜測可能和3-1有關，謝謝
: https://i.imgur.com/JmDxESz.jpg
: https://i.imgur.com/oZvk9G3.jpg

(1)

         N-1             N-1     N
ln N = Σ ln (k+1)/k < Σ 1/k < Σ 1/k
        k=1             k=1      k=1

         N-1             N-1          N
ln N = -Σ ln k/(k+1) > Σ 1/(k+1) = Σ 1/k - 1
         k=1             k=1          k=1

故

 N                   N
Σ 1/k - 1 < ln N < Σ 1/k
 k=1                 k=1

由此可得極限式.

(2)

                    N-1                  N-1
ln S_N - ln(S_1) = Σ ln S_(k+1)/S_k  < Σ a_(k+1)/S_k
                    k=1                  k=1

       N-1          N-1
    = Σ a_k/S_k + Σ (a_(k+1)-a_k)/S_k
       k=1          k=1

第一部分小於從 k=1 加到 k=N;
第二部分

 N-1                              N-1
Σ(a_(k+1)-a_k)/S_k = -a_1 S_1 + Σa_k(1/S_(k-1)-1/S_k) + a_N/S_(N-1)
 k=1                              k=2

當 N→∞ 時, 上式易證收敘. 故

           N
ln S_N <  Σ a_k/S_k + B,  B 為 some positive number.
          k=1

又

                   N-1                 N-1                  N
ln S_N -ln S_1 = -Σ ln S_k/S_(k+1) > Σ a_(k+1)/S_(k+1) = Σ a_k/S_k - 1
                   k=1                 k=1                  k=1

故

 N                                  N
Σ a_k/S_k - 1 + ln S_1 < ln S_N < Σ a_k/S_k + B
 k=1                                k=1

由此可證極限式 (因 ln S_N >= ln N -> infinity).

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.144.62 (臺灣)
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※ 編輯: yhliu (61.224.144.62 臺灣), 01/09/2023 08:17:36
※ 編輯: yhliu (61.224.144.62 臺灣), 01/09/2023 08:18:46
→ musicbox810 : 當 N→∞ 時, 上式易證收歛？請問要怎麼證明？
→ yhliu       : 1 <= a_i <= 2, 1/S_(i-1)-1/S_i = 1/(S_(i-1)S_i)
→ yhliu       : a_k(1/S_(k-1)-1/S_k) <= 2/(k(k-1)), 比較檢斂法
→ musicbox810 : 謝謝解答