Re: [機統] 一個機率悖論問題

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《kirimaru73 (霧丸)》之銘言：
: 假設在這個宇宙中有一個恐怖的獨裁者
: 有一天他說：I wanna play a game ......
: 這個遊戲會進行許多輪，在第X輪中他會隨機抓10^(X-1)個人類來強迫參加
: 也就是第一輪1人，第二輪10人，第三輪100人，以此類推
: 這些人類會被集合再一起，並隨機挑出一位代表
: 由這位代表投擲一枚十面骰(0-9)
: 骰出0則大失敗，殺死該輪所有人類並且遊戲結束
: 骰出1-9則成功，該輪所有參與者得到100萬元精神賠償金，並繼續下一輪
: 你並沒有參加這場遊戲，有一天你的朋友跑來告訴你他從遊戲中生還
: (這是此悖論的重要前提，可能是解題的關鍵)
: 你算了一下：Ｘ的，這是什麼瘋子遊戲，你竟然能活著回來
: 如果遊戲結束時為第X輪，那總共會有111...1(X個1)名參與者
: 其中100...0名會在最後一輪化為華麗的煙火，只有11...1(X-1個1)名倖存
: 你的朋友生還機率約為10%(略小一點)
看起來是估計「生還機率約為10%」有點玄機？

假設我們把這宇宙中的人類都打上一個正整數的編號，
然後恐怖的獨裁者依著編號找人

定義以下的隨機變數

        X_i = 1 , 編號第i位人類沒有死亡
              0 , 編號第i位人類死亡

        R = 這遊戲進行了幾輪

有了以上兩個而每一次遊戲總共參與遊戲的人數是 (10^R-1)/9
              每一次遊戲存活的人數是         (10^(R-1)-1)/9

所以每一次遊戲 存活人數/餐與人數 的比例是 Z = (10^(R-1)-1)/(10^R-1)
E[Z] 看起來差不多是 10%   (實際上差不多是 8.9%)

而用E[Z] 估計 E[X_i] ，悖論就出現了

那為什麼會用 E[Z] 估計 E[X_i]呢？


我們定義隨機變數 M 為每一次遊戲總共參與的人數，也就是 M= (10^R-1)/9

           M
因為  Z = Σ X_i / M
          i=1

如果今天 M 不是個隨機變數而是個常數 m

   m             m
E[ Σ X_i / m] = Σ E[X_i]/m    就是個相當常見估計
  i=1           i=1

但現在不一樣的是分母那個參與遊戲的人數 M 是個隨機變數
(而且X_i們也不是i.i.d.)

這種情況下我們是不是就不能用 E[Z] 去估計 E[X_i] 了？

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推 kirimaru73  : 後面幾輪的X_i都是大型同捆包，或許不能從iid出發
我想表達的是：通常不是 i.i.d. 的話，"sample mean" 這個可能就不是很適用

而且這邊 sample mean 的分母還不是固定的，
而是一個會受到Stopping Time R 干涉的隨機變數，

換句話說用這段
: 如果遊戲結束時為第X輪，那總共會有111...1(X個1)名參與者
: 其中100...0名會在最後一輪化為華麗的煙火，只有11...1(X-1個1)名倖存
來估計單一參賽者的存活率可能從理論上就是不適用的

→ kirimaru73  : 另外為了減少歧義，可以追加幾點假設：
→ kirimaru73  : (1) 該遊戲僅進行正好一輪且已結束
→ kirimaru73  : (2) 獨裁者玩膩了，完全沒有進行下一輪的打算
→ kirimaru73  :    (代表朋友生還了就是生還了，不用擔心下一輪)
→ kirimaru73  : (3) 已參與遊戲的生還者不會被重複選擇
→ kirimaru73  : 這樣仍然可以產生爭議，但能簡化很多問題
推 kirimaru73  : 直接固定R確實不合理 那如果改為計算一整場遊戲的
→ kirimaru73  : 「生存率的期望值」 = Σ(N=1到無限)P(R=N)P(Z|R=N)
→ kirimaru73  : 這樣第一項是 0.10 x 0.0 (衰人)
→ kirimaru73  : 第二項是 0.09 x (1/11) 第三項是 0.081 x (11/111)
→ kirimaru73  : 這應該就是你說的8.9%
→ kirimaru73  : 我傾向覺得單一參賽者的生存率也是8.9% 那個90%其實
→ kirimaru73  : 根本是不存在的，但90%又太過真實，不知道怎麼解釋
推 LPH66       : 90% 應該是給定「被選上特定輪」條件的條件機率?
→ LPH66       : 單看一輪的話分母是定值, 但綜觀整場遊戲時就不是了
就是因為分母不是定值，所以我才對於一開始 10% 那個估計提出質疑啊

比如我們估計一個六面骰骰出"1"的機率，然後進行實驗
        「骰 n 次，然後計算出現 1 的次數」

然後n夠大的話我們就覺得這是「六面骰骰出1的機率」的良好估計

但支撐這想法的是 大數法則(Law of Large Number)

可同樣根據在原文章
: 如果遊戲結束時為第X輪，那總共會有111...1(X個1)名參與者
: 其中100...0名會在最後一輪化為華麗的煙火，只有11...1(X-1個1)名倖存
成立嗎？

推 kirimaru73  : 好像真的是樓上所說，如果加上"某人必定參與遊戲且
→ kirimaru73  : 必定在第N輪被選中"的前提，並假設遊戲會進行正好
→ kirimaru73  : 一場，則無論N是多少，他的生存率都是90%
→ kirimaru73  : N=1時顯而易見，N=K則代表遊戲必進行K輪以上
→ kirimaru73  : 這時K輪沒有爆掉的機率也是90%
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 01/10/2023 01:29:59