※ 引述《wu1212121212 (好小吳\(⊙▽⊙)/ )》之銘言：
: n+1
: 已知 b_1 = 2 且 b_n = 1 + ----- b_(n-1)，求 b_n 的極限值
: 2n
: 初步想法是想把一般式找出來，但我求不出來XD
: 後來又想證明他遞減且有下界，但不曉得如何解釋(腦袋卡住XD)
: 還請版上高手指教，謝謝
可以把一般式找出來沒問題，但是過程繁瑣，需要一些技巧
我只在此簡述過程中的一些結果
有興趣可以自己當習題補完中間的證明。
∞
y = Σb_n x^n
n=0
則y為滿足以下微分方程式的解
2y' = 2/[(1 - x)^2] + xy' + 2y
∞
y = [1/(x - 2)]^2 * Σa_k x^k
k=0
其中定義a_k = 4 ， k = 0
2(1 + 1/k)， k >= 1
所以
k
b_k = Σ(r + 1) * (1/2)^(r+1) * (2 + f_r)
r=0
其中f_kr = 1/(k-r)，r = 0, 1, ...,(k-1)
1 ，r = k
∞
b_k = 2 - (1/2)^k + (1/2)Σ [(r + 1)/(k - r)](1/2)^r
r=0
lim b_k = 2
k→∞
所以極限值 = 2
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.24.162.53 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1673458452.A.A13.html