[分析] 問一個無窮數列的問題

[TimcApple (肥鵝)]

各位午安，我分析這塊很差
因為某些原因要考慮級數和，但很快就卡死了

以下使用 extended real number 系統，即可以使用正負無限大

設 0 < a_1 <= a_2 <= a_3 <= ... 為遞增正實數數列
從某一項開始都是無限大的話，就當成是有限數列

給定 0 <= s <= infty
設 S(s) = sum[n=1 to infty] 1/(a_n)^s

(Lem 1) 0 <= S(s) <= infty, S(0) = infty, S(infty) = 0
(Lem 2) 設 0 <= r < s <= infty, 則 S(r) >= S(s)
        若 0 < S(r) < infty 則 S(r) > S(s)

(Lem 3 ?) 若 S(r) < infty, 則存在 e > 0 使得 S(r-e) < infty


我對於證明(或否定)這個 Lemma 沒有頭緒
不知道有沒有哪本書會提到相關的東西，或這個數列是否有名字之類的

我的目的是想要定義一個 u
(Def) 存在唯一一個 u 使得 S(u) = infty 且 u < s 則 S(s) < infty

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推 yclinpa     : 反例： a_n = n * (log n)^2
→ yclinpa     : r=1 收斂，每個 S(1-e) 都發散
→ TimcApple   : 感謝，這樣要分兩種 u 了