[代數] 一題完全平方數的證明

[toba (永遠的快樂)]

已知a、b皆為正整數

且3a^2+a=4b^+b

證明(a-b)(3a+3b+1)為完全平方數

且a-b及3a+3b+1皆為完全平方數

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→ FAlin       : 建中科班入學考題 假設最大公因數的分解即可
推 alan23273850: 樓上太複雜，把該式移項成3(a^2-b^2)+(a-b)=b^2，
→ alan23273850: 也就是 (3a+3b+1)(a-b) = b^2，至少可先證最後一條
推 Vulpix      : 這題應該是出錯了。
→ alan23273850: 樓上怎麼說呢
→ GameKnight  : 依條件移項可得 3a^2 + a - (4b^2 + b) = 0 ，
→ GameKnight  : a的公式解為 a = (-1±sqrt(16b^2+4b+1))/6
→ GameKnight  : 此時sqrt(16b^2+4b+1)應為整數，
→ GameKnight  : 但(4b)^2 < 16b^2+4b+1 <(4b+1)^2，與條件矛盾
→ alan23273850: 樓上公式解好像解錯了
→ FAlin       : 我講的是第二小題喔
→ alan23273850: 那樓上會用到我的分解嗎？
推 FAlin       : 也要用，但我猜第一小題四分應該是送分等級，大家
→ FAlin       : 都卡在第二小題
推 Starvilo    : d(h-k)(3dh+3dk+1)=d^2k^2, (d,3dh+3dk+1)=1&(h-k
→ Starvilo    : ,k)=1 ,(h-k,d)=d~?
→ GameKnight  : 確實少乘3出錯了，剛有找出一組解 a=30, b=26
推 GameKnight  : 照上面的因式分解(a-b)(3a+3b+1) = b^2，
→ GameKnight  : 接下來只要證明a-b與3a+3b+1互質即可，
→ GameKnight  : 令a-b與3a+3b+1的gcd為d，
→ GameKnight  : 可得d為 (3a+3b+1) - 3(a-b) = 6b+1的因數，
→ GameKnight  : 且d更為 b(6b+1) - 6b^2 = 1 的因數，則 d=1
推 GameKnight  : 上面那行得d為b的因數，配合d為6b+1的因數得d=1
推 alan23273850: 水喔！樓上兩大巨頭的解答都非常的清楚，原來拆成
→ alan23273850: 最大公因數真是豁然開朗！
推 Refauth     : 台灣現在的國中生程度應該傾向於拆分因數這個方法