→ FayeFaye1 : 大感謝！！我研究一下 02/19 23:12
推 yueayase : 我覺得倒數四行(1-p)*P[n-1]應該抄錯了p*P[n-1]才對 02/20 02:03
你說得沒錯 已更正
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 02/20/2023 05:44:52
※ 引述《FayeFaye1 (說不出的想念)》之銘言：
: 玩10局遊戲，勝率50%，遇到三連敗以上的機率有多大?
: 三連敗以上意思是不只算三連敗，遇到四連敗，五連敗等也算在內
: 也可能遇到2次三連敗，或遇到三連敗又遇到四連敗等等
: 反正只要遇到1次三連敗以上都算
: 我用程式模擬一百萬次統計機率是41.347%
: 但是我用數學計算怎麼算都是49.22%
: 快要瘋了
定義 P[n] = Pr(玩 n 局遊戲遇到過 3連敗)，這問題的目標是想算出 P[10]
基本假設：各局遊戲的勝敗為獨立事件且勝率都是 p (在這個案例裡面 p = 0.5)
對於 n = 1,2,3:
P[1] = 0
P[2] = 0
P[3] = (1-p)^3
這我想滿直接的
對於 n >= 4 的情況呢
P[n] = Pr(玩 n 局遊戲遇到過 3連敗)
= Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局未出現首勝)
+ Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第1局)
+ Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第2局)
+ Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第3局)
Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局未出現首勝)
= Pr(前三局未出現首勝) * Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前三局未出現首勝)
(前三局未出現首勝 = 前三局三連敗)
= Pr(前三局三連敗) * Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前三局三連敗)
= (1-p)^3 * 1
= (1-p)^3
接著考慮 Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第3局)
前三局首勝出現於第3局 = 前兩場敗、第三局勝，故
Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前兩局敗、第三局勝)
= Pr(前兩局敗、第三局勝)*Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前兩局敗、第三局勝)
= (1-p)^2*p * Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前兩局敗、第三局勝)
關於這個 Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前兩局敗、第三局勝) ，
因為假設各局遊戲結果獨立，所以
Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前兩局敗、第三局勝) = Pr(玩 n-3 局遊戲遇到過3連敗)
所以最終可以得到
Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第3局)
= (1-p)^2*p * Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 | 前兩局敗、第三局勝)
= (1-p)^2*p * Pr(玩 n-3 局遊戲遇到過3連敗)
= (1-p)^2*p * P[n-3]
同樣地推論可以得到
Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第1局) = p*P[n-1]
Pr(玩 n 局遊戲遇到過3連敗 且 前三局首勝出現於第2局) = p(1-p)*P[n-2]
總結上面所有推論，可以得到
For n >= 4,
P[n] = (1-p)^3 + p(1-p)*P[n-2] + p*P[n-1] + (1-p)^2*p * P[n-3]
寫個小程式可以得到 P[10] = 0.5078125
你喜歡 analytic form 的話，那 P[10] 可以寫成
P[10] = -6*p^8 + 32*p^7 - 66*p^6 + 60*p^5 - 17*p^4 - 4*p^3 + 1
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