Re: [中學] 分氏相加何以不可分子和分母各自加

[yueayase (scrya)]

※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
:  分氏相加的定義課本上寫很清楚，但是實務上總是會遇到一些
:  青年男女在計算的時候「很直觀地」把分子加分子且分母加分
:  母。具體例子如下:
:  按定義: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6
:  一種直觀錯誤計算法: 1/2 + 2/3 = ( 1+2 )/( 2+3 ) = 3/5
:  請問除了單純說必須按照定義方式運算以外，有甚麼方法可以
:  解釋上述直觀分別加的方式的錯誤。
其實這個問題我覺得可能可以用代數學的角度去看
From John M. Howie Fields and Galois Theory p13~16:

Let D be an integral domain. Let

P = D x (D\{0}) = {(a,b)|a,b in D, b ≠0}

Define a relation ≡ on the set P by

(a,b)≡(a',b') iff ab'=a'b

而這個是個equivalence relation

The quotient set P/≡ is denoted by Q(D). Its elements are equivalent classes

[a.b] = {(x,y) in P | (x,y)≡(a,b)}.

We denote the class by symbol a/b.

Two classes are equal if their representatives are equal.
(ie. a/b=c/d iff ad=bc)

We define addition and multiplication in Q(D) by the rules

a/b+c/d = (ad+bc)/db and (a/b)(c/d) = ac/bd

Then

Lemma 1.11: The addition and multiplication defined above are well-defined.

The operations turn Q(D) into a coomutative ring with unity,
the zero element is 0/1, the unity element is 1/1. and
the negative of a/b is (-a)/b.

Also, the ring Q(D) is a field since for all a/b with a≠0, we have

(a/b)(b/a) = ab/ab = 1/1

而我覺得最重要的應該是這個:
Lemma 1.12: The mapping φ:D->Q(D) given by

φ(a) = a/1, a in D is a monomorphism.

Then we can regard Q(D) as containing D as a subring.
The field Q(D) is the "smallest" field containing D, in the following sense:

Lemma 1.13: Let D be an integral domain, letφ be the monomorphism from D into
Q(D) given by lemma 1.12 and let K be a field with the property that there is
a monomorphism θ from D into K. Then there is a monomorphism ψ:Q(D)->K
such that the diagran
    θ
 Q---->K
 |    `/`
 |    /
\|/  /
 Q(D)

commutes

(Define ψ(a/b) = θ(a)/θ(b) Then it is a monomorphism and ψ(φ(a))=θ(a))

When D = Z, it is clear that Q(D) = Q. This is a classic example of the field
of quotients, but is not the only one.


好了，名詞很多看得很頭痛，粗淺的說就是，如果你承認等值分數的概念成立，
那每一個等值分數就會形成一個互相都是"相同"的東西，每一個這種東西構成一個集合
，而不同的屬於不同的集合，不同的集合是互斥的。
而根據Lemma1.12，我們如果把在有理數內的a/1視為是正整數a的一個代表，那這種對應
會是和原來運算結構是一樣的且每一個在有理數的a/1，映回去都會是唯一的那個正整數
a，不會是別人(也就是一對一)

那就表示我用小學分數算術這種定法，把整數拓展到有理數，運算的結果和性質和原先在
整數中是等價的

而向量版本的那種並不能滿足這種性質，所以如果有理數做為整數的延伸，那種分子+分子
分母+分母這種向量式的運算不太符合我們的需要
這也就解釋了為什麼分數加法和乘法要這樣訂

也就是a/1+b/1=(a+b)/2除了在生活中不合理以外，在代數結構上也不符我們的需要

這是我的理解，你可以參考看看~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.227.66.112 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1676827242.A.2E0.html
→ chang1248w  : 直接從有理數開始構造，夠簡潔
我個人是喜歡這個作者這樣的方式構造有理數的，而且也可以看到其中一個原PO問題的
其中一點: 那整數你這樣加合理嗎?
※ 編輯: yueayase (61.227.66.112 臺灣), 02/20/2023 02:10:45
※ 編輯: yueayase (61.227.66.112 臺灣), 02/20/2023 02:20:28
※ 編輯: yueayase (61.227.66.112 臺灣), 02/20/2023 02:22:16
推 chang1248w  : 他大概又會嚷嚷你這樣程度不好的學生看不懂云云
其實我覺得他倒可以把a/1+b/1=(a+b)/2拿來反問學生，這樣會不會不合理
然後說這以後可以用抽象的數學架構，論證分數那樣運算是合理的

但老實說吧... 代數學基本上證明也都是從基本的邏輯、集合、證明法則去做的
這種東西老實說即使很多理工科的，也不一定有興趣去學習...
但既然如此，何不轉念去想... 反正很多理工科的也不一定會，在這能力的基礎上
我並不會輸他們太多，我也可能有機會學起來呢?
而不是整天覺得自己高中以前的數學不好，這個連理工科的都學不起來，我一定也不行...

說真的現在也不少讀文組的可以轉當程式設計師，演算法和資料結構努力學，也學得起來
而實際上有些數學也不像高中那種調調，整天代公式弄來弄去，何不脫離畫地自限的思維
，給自己一個機會，好好學邏輯+集合+證明，未來學看看像計算理論和圖論之類的，
搞不好哪一天成為這些領域的大師也說不定啊...

https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1676736977.A.36B.html
之前我有發表相同論點... 但諷刺的是，沒什麼人認同QQ
※ 編輯: yueayase (114.47.64.252 臺灣), 02/20/2023 17:05:40
※ 編輯: yueayase (114.47.64.252 臺灣), 02/20/2023 17:11:28
推 chang1248w  : 就像我有大半的同學不會去讀符號學、人口論、佛經
→ chang1248w  : 或者紅樓夢
→ chang1248w  : 這件事不只是文理組的隔閡而已
其實我也沒興趣讀這些東西，而且我以前也認為國文的古文的詞的解釋都沒有邏輯、根本
自己講自己的，有人之前反駁說其實這些東西是有脈絡可循的，但當時我也不相信啊...
不過如果是考新體詩... 那個我就真的覺得沒什麼邏輯，出題者或作者講得算XD
然後老實說很多人覺得文組的東西沒鑑別度，因為很多二、三類的人也念得起來...
也有人說其實是題目考得不夠專業化，如果是考那種研究方法的思維之類的，可能就有
鑑別度了... 老實說我也認同，但這個我覺得跟當代對於學問的看法和風氣有關...
※ 編輯: yueayase (114.47.64.252 臺灣), 02/20/2023 17:53:44
→ chang1248w  : 那我推薦你去看個符號學，到大學偶然看到這東西，
→ chang1248w  : 我才知道高中國文說什麼解析怎麼藉代是在幹嘛
→ chang1248w  : 是不是世界各地都如此我不清楚，但台灣教育壓抑學
→ chang1248w  : 生的興趣不是十年二十年的事了，後段對學科沒有興
→ chang1248w  : 趣的擺爛放推，中段乃至尖端對課外的沒有動力，剩
→ chang1248w  : 下有點活力的異端變成孤兒
我覺得人性使然，人們要對自己沒有一點天分和沒有實用價值的東西，花很多力氣下去
學習，但我覺得很有趣的是，其實很多高中以前學生有問題的東西，不是老師花一兩句
帶過就能解決那麼簡單，所以原PO問這個問題，我一開始也愣住，因為確實
向量加法那樣加，確實是一個abelian group，這種特性其實很多情況下，確實已經足夠
想要這樣定，但問題就是... 它好像跟我們做分數運算處理問題不太一樣...
所以我才想說代數學能不能解答這個問題... 結果是可以的 這很讓人開心

而其實我覺得學邏輯的時候: p->q這個敘述，p為F且q為T，為什麼會是對的?
我高中老師以前唬爛我:若前提是錯的，但結論是對的，不就更開心嗎?
這種回答顯然... 不太有道理XD
然後教授logic的章節，也對這個沒有太多著墨...
直到有哲學系的推薦讀
An Introduction to Formal Logic, Peter Smith (Author)
我沒很仔細看，但看到一個關鍵就是:
如果你希望p->q為true，但q->p不一定是true的推理系統
那如果你把結果填F，真值表就會和q->p一樣了
這個我就覺得說服力比較強，但一般數學課程不會提到
當然那位哲學系的也有提到counter factual conditional這個概念
這我比較不清楚
※ 編輯: yueayase (114.47.64.252 臺灣), 02/20/2023 18:51:52
→ chang1248w  : 形式邏輯..... 我pass lol