[其他] 無限循環小數及無理數 換了進位制會不同?

[NuCat (騎山豬撞教官)]

如題 誠心求教

一些除不盡的無限小數　以及無限循環小數　以及無理數等等

換一個進位制　　結果會不同嗎？




小妹弟我一直以來 以為自己數學是不錯的


因為從小被送去補習班學公文數學  大量的演算、算數解題


機械式的打下了一定基礎 和一點點自以為的數感


加減乘除四則運算、小數、分數、代數、....


因此從小考試會比同齡人強一些


從小學、國中、到高中.... 一直是如此


直到上大學 學了統計學 (沒錯 偶文組)


因為數統、迴歸分析、和一些偏證明的機率論、 什麼超幾何統計分配、卡方分配


搞得我一個頭兩個大   從此再也不敢以為自己懂數學或自稱數學很強


原來以前 ....你說那叫數學？　我看更像普通算數


社會組的統計學尚且如此了更別說自然組學的數學　　那一定更難更枯燥　






好了　　回正題　　


我只想請教一個簡單的問題


例如　7 除以 3   大家都知道會除不盡的　


會變成無限小數　 2.3333333333.......................


但是因為我們從小學的是10進位制　習慣以10進位思考


假設今天換成是7進位　或者3進位　　結果會不同、變得可以除盡嗎？




同理　圓周率π　

大家也都知道他是一個無理數　連換成分數都無法

假設換了一個進位制　結果會不同嗎？

真心尋求解答　


鞭小力點　　謝謝各位先進大賢

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.9.199.64 (臺灣)
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※ 編輯: NuCat (39.9.199.64 臺灣), 03/07/2023 18:22:26
推 Vulpix      : 10進位的0.5 = 2進位的0.1
→ Vulpix      : 10進位的0.3 = 2進位的0.0100110011001...
→ Vulpix      : 10進位的0.444... = 3進位的0.11
→ Vulpix      : 有限小數跟循環小數是同類，換進位制就網內互轉。
→ Vulpix      : 無理數換進位制也還是不循環無限小數。
→ LPH66       : 回想一下你做長除法的過程, 再思考如果用其他進位
→ LPH66       : 下去做的話會不會有一樣的現象
→ LPH66       : 特別注意當商數出現循環時還有什麼也出現循環
                                                           餘數？

   謝謝樓上兩位耐心的解答 感謝 所以結果是不會改變 只是呈現方式變了
※ 編輯: NuCat (39.9.199.64 臺灣), 03/07/2023 19:36:09
→ yueayase    : 如果你高中數學不錯的話，我覺得學工數問題不大
→ yueayase    : 而數統我覺得在微積分不差的情況下，只要你懂他那
→ yueayase    : 那些工具在解決什麼問題，其實也是在照表操課
→ yueayase    : 除非你說的是converge in probability/distribution
→ yueayase    : /almost everywhere 那這個需要點epsilon-delta
→ yueayase    : statement證明的理解，還有懂得random variable定義
→ yueayase    : 換成用Set的角度去看 almost everywhere應該需要
→ yueayase    : 實分析or機率論(不是機率導論)才懂他在講什麼
   我高中排列組合機率滿強的 (自豪)
   結果上了大學統計系二年級 修到機率論 念原文書 一整個吃屎
   我真的覺得專門念數學系的人 智商應該都超高的
推 LPH66       : 就是餘數沒錯, 這種餘數循環造成商數循環的現象
→ LPH66       : 是不論進位為何都是一樣的 (可以想想為什麼)
→ LPH66       : 而整除在某個程度上也是「自此之後餘數都是 0」而已
→ LPH66       : 當然商數也就是一樣, 某位之後都是 0 然後不寫而已
→ LPH66       : 因此有理的表現 (有限或無限循環) 在換進位後仍然會
→ LPH66       : 是「有限或無限循環」的表現
→ LPH66       : 至於何者有限何者無限, 可以考慮 10 進位的狀況以及
→ LPH66       : 下篇回文提到的無窮等比級數來思考
   謝謝專業耐心的解答 解除了我的疑惑
※ 編輯: NuCat (39.9.199.64 臺灣), 03/08/2023 12:29:46
推 nutta       : 換成7進位你可以先除除看啊
→ nutta       : 7除以3是2又3分之1，而以7分之1為首項、公比的無限
→ nutta       : 等比級數是6分之1，所以7除以3的7進位制結果是2.2
→ nutta       : 2222…這樣就發現一個例子了！沒有實際例子就直接
→ nutta       : 要證明感覺會比較困難
推 nutta       : 等比級數的思考是從十
→ nutta       : 進位制每個位數都差10
→ nutta       : 倍來的，所以7進位制小
→ nutta       : 數點後理應是1/7、1/4
→ nutta       : 9、1/343…，可以先數
→ nutta       : 數看幾個1/7會超過1/3
→ nutta       : ，發現3/7>1/3>2/7，所
→ nutta       : 以1/7只能有2個，小數
→ nutta       : 點後1位是2，再去找1/
→ nutta       : 21是幾個1/49…這是最
→ nutta       : 土法煉鋼的方法，但很
→ nutta       : 實際，國中甚至國小就
→ nutta       : 能一個一個除下去
→ deepdish    : https://i.imgur.com/WhcfAzn.png
推 Vulpix      : 最近的AI產品很有趣，但顯然你沒有告訴AI正確的問
→ Vulpix      : 題。
推 Vulpix      : 至於長除法，與其用補的，不如去考慮為什麼餘數一
→ Vulpix      : 旦重複就開始循環吧。