推 kilva : 整數與代數數也可一一對應 03/08 18:17
※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: ※ 引述《NuCat (騎山豬撞教官)》之銘言：
: : 我只想請教一個簡單的問題
: : 例如 7 除以 3 大家都知道會除不盡的
: : 會變成無限小數 2.3333333333.......................
: : 但是因為我們從小學的是10進位制 習慣以10進位思考
: : 假設今天換成是7進位 或者3進位 結果會不同、變得可以除盡嗎？
: : 同理 圓周率π
: : 大家也都知道他是一個無理數 連換成分數都無法
: : 假設換了一個進位制 結果會不同嗎？
: : 真心尋求解答
: : 鞭小力點 謝謝各位先進大賢
: 設N為有理數，依照定義，存在a,b為整數使 N=a/b
: 則換成7進位、3進位..無論任意進位法，
: a,b必定都能表達為整數。
: Ex..
: 3/7 = 011/111(二進位) = 010/021(三進位) = 003/013(四進位) .....
: 由於換成任意進位法，N仍然存在a,b為整數(只是用不同進位制表示)
: 且N=a/b，因此N仍然是有理數。
: 無理數推法就上述證法用反證法即可
: 簡單來說換進位制不會導致 有理數變無理數、無理數變有理數
: 但換進位法可能讓「原先有限循環小數變無限循環小數」
: 範例：
: 0.1（十進位）＝0.00011001100110011....（二進位）
: 可用無窮等比級數的和來證明
我覺得這有理數換進位，還是有理數 無理數換進位換進位還是無理數
應該跟cardinality是有關的
eg:10進位p/q
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 ...
4/1 4/2 ...
5/1 ...
inorder: 1/1(p+q=2) => 2/1 1/2(p+q=3) => 3/1 2/2(X) 1/3(p+q=4) => ...
也就是斜著往上，一層一層往下列舉，重複的丟掉
eg: 3進位
1/1(十進位1/1)(p+q=2) => 2/1(十進位2/1) 1/2(十進位1/2) (p+q=3)
=> 10/1(十進位3/1) 2/2(X,十進位1/1=2/2) 1/10(十進位1/3) (p+q=4)
=> 11/1(十進位4/1) 10/2(十進位3/2) 2/10(十進位2/3) 1/11(十進位1/4)(p+q=5)
=> ...
可以發現換進位制，還是可以找到相似的bijection
ie f:N->D(N) (rational decimal)
g:N->C(N) (C進位有理數)
-1
f g
=> D(N)-> N-> C(N)
-1
g○f : D(N) -> C(N) is a bijection
即有理10進位數和有理C進位數可以1個1個綁再一起視為同一個東西，不多不少
每一個都可以對應到(唯一的)另一個
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