Re: [中學] 求等差級數的和

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

※ 引述《toba (永遠的快樂)》之銘言：
: ※ 引述《ostracize (bucolic)》之銘言：
: : https://www.youtube.com/watch?v=Tj89FA-d0f8&t=9s
: : 我在某一家書局編的國中數學課本不斷地看到這種題目:求等差級數的和。
: : 我覺得應該是求等差級數(或等差數列前幾項的和)才對。
: 1、2、3、4、5、6  這個叫作等差數列
: 1＋2＋3＋4＋5＋6  這個叫作等差級數
: 那問你1＋2＋3＋4＋5＋6結果等於多少
: 如果題目只有講「請問此等差級數？」很多人會不知道你要求什麼
: 是要求此等差級數的第幾項？還是算出總和？
: 所以在教學上才會有「求此等差級數的和」
並非我們的自然語言不精確，而是有精確定義的數學語言不足以表
達我們想說的意思。

如樓上舉的例子： 1+2+3+4+5+6 = 21

數學上，等號的左右兩邊完全等價。任何出現21的地方，你可以無
腦代換成 (1+2+3+4+5+6) 而絕不會發生錯誤。反之亦然。等式的左
右兩邊在數學上是同一個物件，雖然表示方法不同，但是數學語言
對格式完全不做區分。

但是考卷給你出一題 1+2+3+4+5+6 = ______ ，空格裡面你敢填上
1+2+3+4+5+6 試試？

即使數學邏輯上是同一個物件，實用上我們卻真的有區別不同格式
的需要，所以才有「級數」與「和」的差別。在罵老師亂創造語言
之前，請先回答我：怎麼用精確的數學語言區分這個等式的左右兩
邊？或者更一般而言，可能給closed form solution這個概念一個
精確的數學定義嗎？

然後這個用法不只是台灣的數學老師在用。做理論物理的整天都在
搞泰勒展開然後把數列加回去這種事，對我們來說series是左邊那
個有一堆加號的格式，sum（可望不可及的聖杯）是右邊的加總結
果。





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→ wohtp       : 至於另外那些把「區分格式」這件事無限上綱到要教小
→ wohtp       : 學生 3*5 != 5*3 的人，那是另一個極端了...
推 WuCH1022    : 乘法牽涉到主詞與動詞(形容詞)差別
→ WuCH1022    : 5*3=五有三個總和十五  3*5=三有五個總和十五
→ WuCH1022    : 結果相同但過程不同
→ wohtp       : 就是樓上這個。
→ wohtp       : 那個順序不同是格式不同，你直接說不等於才叫做教壞
→ wohtp       : 小孩子。
→ wohtp       : 回到級數這個例子可能差別更清楚。你可以用約定俗成
→ wohtp       : 的自然語言去區分1+2+...+6和21，但你不可以教小孩
→ wohtp       : 子 1+2+...+6 != 21
推 Vulpix      : 「最簡」啊XD  可是最簡真的很難定義呢。
→ Vulpix      : 三樓那個可以看成互文修辭，完全沒有問題。
→ Vulpix      : S=vt，難道不能寫成S=tv？
→ wohtp       : 最簡有得定義的話，數學家應該老早訂出來了。
→ wohtp       : 你看那些電腦代數工具的simplify功能一個比一個廢，
→ wohtp       : 就知道沒人想得出怎麼定義。
推 WuCH1022    : 會告訴你主詞不同 就是因為數學要用在日常生活
→ WuCH1022    : 蘋果五個裝一盒總計三盒  三個裝一盒共五盒
→ WuCH1022    : 然後說只需要管等號右邊就好?
→ WuCH1022    : 不過看起來也知道等號左邊是不同的
推 Vulpix      : 正是因為要用在日常生活中，所以「每盒五個金莎，
→ Vulpix      : 共三盒」和「三盒金莎，每盒五個」才沒有差別。硬
→ Vulpix      : 要規定後者非得寫成5*3是真的走火入魔了。
推 WuCH1022    : 所以主詞對應是誰要表達清楚
推 Vulpix      : 乘法有交換律啊。你自己看看「3盒*5個/盒」和
→ Vulpix      : 「5個/盒*3盒」運算起來哪裡有差？盒都能約掉。
→ Vulpix      : 所以有學生從國小畢業以後我都會為了這個恭喜他們。
→ Vulpix      : 總算不用被奇怪的概念荼毒了。
推 WuCH1022    : 因為你舉的例子主詞是相同的當然可以換
→ WuCH1022    : 我前面舉的例子五個三盒和三個五盒不就不能換了?
推 LPH66       : 那寫 5*3 或寫 3*5 你知道是他的那種還是你的這種?
→ LPH66       : 沒有在式子裡附單位那誰說不能連單位一起對換?
→ LPH66       : 你既然同意 (因為帶單位故) 主詞相同那可以換
→ LPH66       : 那為何要在沒寫單位的數字運算中強制規定誰在哪邊
→ LPH66       : 我所知道的強制規定順序的寫法背後理由都只是
→ LPH66       : 某個特定的單位 (可能就你所謂的主詞) 寫在某一邊
→ LPH66       : 我就不客氣的說這根本只是教學生偷懶
→ LPH66       : 不明著寫出你的意思根本無法溝通
推 WuCH1022    : 所以說想偷懶必須知道可以偷懶的原因
→ WuCH1022    : 純數計算可以互換毫無疑問  帶上單位三思後行
推 WuCH1022    : 那對除法而言 在除數不轉為倒數與被除數相乘下
→ WuCH1022    : 勢必要弄清楚主詞(被除數)是誰
→ WuCH1022    : 個人認為加減法終究停留在一個維度(數線)上的變化
→ WuCH1022    : 但是乘法會多一個維度(平面)
→ WuCH1022    : 乘法的加法定義5*3=5+5+5 3*5=3+3+3+3+3
→ WuCH1022    : 殊途同歸但終究是不同路徑
推 Vulpix      : 我倒不覺得是在教學生偷懶，而是老師偷懶不幫學生
→ Vulpix      : 弄清楚。如果要討論「形式」，依然可以將五盒且每
→ Vulpix      : 盒三個記作5*3，這樣記的好處是5的位置正是未來多
→ Vulpix      : 項式的係數位置。五個x記作5x不也合情合理？問題是
→ Vulpix      : 在「硬要規定只能用一種方法解讀3*5」，這沒必要。