[中學] 請問一個化簡為常數函數

[znmkhxrw (QQ)]

如題, 我觀察到對任何正整數p, 任何正整數N>=(p+1), 都會有:

N-1         nπ
Σ  (cos(x-──))^(2p) = constant, denpending on p and N
n=0          N

如圖 https://www.desmos.com/calculator/var1czvemp

我想知道這個常數是什麼

自己化簡時如果把cos(x-(nπ)/N)拆成cos*cos+sin*sin, 之後光是2p次方就很頭痛

而如果把(cos(x-(nπ)/N))^(2p)寫成(1-(sin(x-(nπ)/N))^2)^p, 好像也沒啥幫助

而如果用e^ix取等比級數再取實部這招, 只能適用於p=0.5

我猜motivation應就是從p=1中, sin^2+cos^2=1 而來的

完全不知道怎麼化簡...

謝謝幫忙~
-------------------------

這個問題的一般式就是 Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q, d!=0, q正整數, a,d任意實數

我嘗試用cos^q(x) = ((1/2)*(e^(ix)+e^(-ix)))^q 然後做二項式定理

然後再用級數交換與等比級數, 最後導到:

https://www.desmos.com/calculator/horz48lm0b

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1682726064.A.9B4.html
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/29/2023 08:18:14
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/29/2023 08:24:07
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/29/2023 09:21:25
推 LPH66       : 叫 Mathematica 直接對小的 N p 展開的結果是
→ LPH66       : https://i.imgur.com/slUUAPo.png
→ LPH66       : 下面那條是我觀察結果猜的通式, 不知道對不對就是
→ LPH66       : (k!! 是跳 2 的階乘, 也就是那個乘項其實是
→ LPH66       :  (1/2)(3/4)(5/6)...((2p-1)/(2p)) 這個連乘積
→ LPH66       : 或者另一個長相是這樣
→ LPH66       : https://i.imgur.com/pTcz4r2.png

嗨L大, 我之後也是用猜的哈哈, 我上面的連結中q偶數的話, m=q/2會有這一項跑出來

https://i.imgur.com/aJje1ZQ.jpg

而當時我就是不會化簡前面, 果斷猜測他會自己左右消掉, 果然模擬起來這個常數

就是 N*C(q,q/2)*(1/2^q)

推 Vulpix      : 應該沒錯吧，我晚點回家查查「神奇的複數」XD然後
→ Vulpix      : 我不是wayne……
→ musicbox810 : 他好久沒出現了
推 Vulpix      : 證明大概是要用分部和分。可是真的好容易算錯。
我沒找到左右相消的契機...好難算QQ

推 LimSinE     : 先證答案與x無關，原式對x積分[0,2pi]即可求值
這很酷欸!! 單純要找值的話

我一開始是想說我只要找x=0就可以知道常數, 可是x=0跟general x卡的點根本一樣XD

因為難處就是那個次方QQ

推 Vulpix      : 推樓上，這樣舒服多了。不過我還是想嘗試硬爆！
→ Vulpix      : 就是完全模仿那個分部積分的過程來算。
→ musicbox810 : 怎麼證答案與x無關?
要證明微分等於0就遇到更恐怖的次方相加, 我也沒試這條路了XD

還是硬著頭皮化簡感覺比較有機會

=======================================================================

謝謝大家討論, 我目前更general的模擬結果是:
---------------------------------------
令 S_c = Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q
   S_s = Σ_{n=0~N-1} (sin(a+nd))^q

則 對於任何實數a, 偶數q, 正整數N, d = kπ/N, 且k是不被N/2整除的整數
   我們都有 S_c = S_s = (N/2^q)*C(q, q/2)
---------------------------------------

也就是說只有特殊的d跟q才可以讓 m<q/2 跟 m>q/2 那兩坨相消

而這個結果應該可以仿造下篇H大的方式證出來, 只是要多處理k

(原本問題相當於k=1, 總不被N/2整除)

等哪天閒閒的再去搞那坨分式吧XDDD

不過這結果好像也有點合理, 因為k=1的話剛好讓(cos(x))^2p剛好加滿一個週期π

其他的d值感覺就有但書了, 會多其他項不意外(?

謝謝大家~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/30/2023 13:45:41
推 Vulpix      : 次方相加無所謂，你做一下傅立葉級數就知道他們和
→ Vulpix      : 還是0。
→ znmkhxrw    : 了解~謝謝V大