Re: [代數] 請問600元有多少種組合

[Honor1984 (奈何上天造化弄人？)]

※ 引述《chanlele (長樂)》之銘言：
: 大家好～想向各位請教！
: 問題是這樣子的：
: 10元硬幣30枚，20元硬幣20枚，30元硬幣10枚，請問付出600元有多少種排列組合？
: 看到問題之後想的方向是x+2y+3z=60，在未知數各有限制的情況下窮舉，後來發現組合太
: 多了用電腦跑出所有可能性和篩選出符合的答案……
: 基本上高中後就很少碰數學了，想請問有沒有更「數學」的方法來解答這個問題呢？
: 謝謝！
: (Var1-3 是x y z
: https://i.imgur.com/oZUc4AV.jpg
: （如果分類或標題不對請再和我說，不清楚這是解未知數還是排列組合，我分不出來Q

x + 2y + 3z = 60，要求滿足0<= x <= 30，0 <= y <= 20，0 <= z <=10的條件

令x + u = 30，y + v = 20，z + w = 10

則u、v、w一樣滿足0<= u <= 30，0 <= v <= 20，0 <= w <= 10的條件

=> u + 2v + 3w = 40

這種方程式整數解在高中應該有更方便的排列組合方法

但是如果擺在小學，應該著重在計數的方式

先篩選40 - 3w初步允許的值可能為

{10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}及{31, 34... ,40}

u在10~28均能滿足，31~40就要排除不合的狀況

前面{}允許的個數為各種情況 = [(40-3w)/2] + 1，[]取整數部分

= 6 + 7 + 9 + 10 + 12 + 13 + 15 = 72

後面{}允許的個數分別討論：

31： v = 1 ~ 15共15個

34： v = 2 ~ 17共16個

37： v = 4 ~ 18共15個

40： v = 5 ~ 20共16個

所以總數 = 72 + 15 + 16 + 15 + 16 = 134個



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→ chanlele    : 謝謝！